[論文レビュー] On uniqueness of heat flow of harmonic maps

Tao Huang, Changyou Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体、特に単位球面 $S^{k-1}$ やコンパクトなリーマン多様体の同次空間への調和写像の熱方程式の弱解の一意性を、小さな再正規化エネルギー条件のもとで確立する。モリィ空間の評価と $\epsilon_0$-正則性定理を用いて、モリィ空間における勾配ノルムが十分に小さい解は一致することを証明し、$n=2$ の場合を越えて一意性の結果を拡張し、ストルーウェの予想を広い初期データのクラスに対して確認する。

ABSTRACT

In this paper, we establish the uniqueness of heat flow of harmonic maps into (N, h) that have sufficiently small renormalized energies, provided that N is either a unit sphere $S^{k-1}$ or a compact Riemannian homogeneous manifold without boundary. For such a class of solutions, we also establish the convexity property of the Dirichlet energy for $t\ge t_0>0$ and the unique limit property at time infinity. As a corollary, the uniqueness is shown for heat flow of harmonic maps into any compact Riemannian manifold N without boundary whose gradients belong to $L^q_t L^l_x$ for $q>2$ and $l>n$ satisfying the Serrin's condition.

研究の動機と目的

• 次元 $n \geq 2$ における調和写像熱方程式の弱解の長年の未解決問題である一意性を解消すること。
• 解の一意性を保証する関数クラスの存在について、ストルーウェの予想に言及すること。
• 調和写像熱方程式が $S^{k-1}$ やコンパクトなリーマン多様体の同次空間へ向かう場合、小さな再正規化エネルギー条件のもとで一意性を確立すること。
• このような解について、ディリクレエネルギーの凸性および $t \to \infty$ における唯一の極限値の性質を示すこと。
• 勾配の可積分性条件を用いて、一般のコンパクトなリーマン多様体 $N$ についても一意性結果を拡張すること。

提案手法

• 勾配および時間微分の小さな大きさを測るため、モリィノルム $M^{p,p}_{R_0}$ および $M^{p,2p}_{R_0}$ を導入する。
• モリィ空間における調和写像の $\epsilon_0$-正則性定理を確立し、小さなエネルギー条件下で滑らかさが保証されることを示す。
• 小さなエネルギー正則性の結果を用いて、$t \geq t_0 > 0$ の時間においてディリクレエネルギーの凸性不等式を導出し、それが一意性を示すことにつながることを示す。
• パオアンカーリンとハーディの不等式を用いて、二つの解の差をそれらの勾配ノルムで制御する。
• 領域内における二つの弱調和写像のディリクレエネルギーの間の比較不等式を証明し、モリィ空間における勾配ノルムが小さいと解が一致することを示す。
• モリィ空間における調和写像の一意性結果を用いて、エネルギー比較と時間正則性を介して熱方程式の解の一意性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^{k-1}$ やコンパクトなリーマン多様体の同次空間への調和写像熱方程式において、勾配および時間微分の小さなモリィノルム条件下で、弱解が一意に存在するか。
• RQ2 $t \geq t_0 > 0$ において、このような解についてディリクレエネルギーの凸性が確立可能か。その結果、長期的な一意性が保証されるか。
• RQ3 $n \geq 2$ において、小さなエネルギー条件下で、ストルーウェの予想（単調性公式によって定義される関数クラス内での一意性）は正当か。
• RQ4 勾配 $\nabla u$ に対する可積分性条件を満たす場合、一意性結果を一般の境界のないコンパクトなリーマン多様体 $N$ へ拡張可能か。
• RQ5 弱解の一意性を保証するための、モリィノルムによる「小ささ」の正確な閾値は何か。

主な発見

• 任意の $n \geq 2$ に対して、二つの弱解 $u_1, u_2$ が $\max_{i=1,2} \left[ \|\nabla u_i\|_{M^{p,p}_{R_0}} + \|\partial_t u_i\|_{M^{p,2p}_{R_0}} \right] \leq \epsilon_0$ を満たすならば、$M \times [0,T]$ 上で $u_1 \equiv u_2$ が成り立つ。
• 同じ小さな条件のもとで、$t \geq t_0 > 0$ において解のディリクレエネルギーは時間に関して凸である。
• 解は無限大において唯一の極限に収束する。すなわち、$\lim_{t \to \infty} u(t)$ は存在し、一意的である。
• $N = S^{k-1}$ またはコンパクトなリーマン多様体の同次空間の場合、$1 < p \leq 2$ に対して $\|\nabla u_i\|_{M^{p,p}_{R_p}} \leq \epsilon_p$ が成り立つならば一意性が成り立つ。ここで $\epsilon_p$ および $R_p$ は $p$ と $\delta$ に依存する。
• 勾配 $\nabla u \in L^q_t L^l_x$ で $q > 2$ かつ $l > n$ を満たし、条件 (1.13) を満たす場合、結果は一般の境界のないコンパクトなリーマン多様体 $N$ へ拡張可能である。
• 証明は、新しいモリィ空間における $\epsilon_0$-正則性定理と、パオアンカーリンおよびハーディの不等式を用いて導出された鋭いディリクレエネルギーの凸性不等式に依拠している。