[論文レビュー] On Unitary Irreducible Representation of $\hat{so} (1,n)$, Action of its Universal Enveloping Algebra, and the Virasoro algebra

Maxim Zyskin|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 1999

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、$ˆ{so}(1,n)$ ゲージ代数の正規化されていない最高重みでないユニタリおよび非ユニタリな既約表現を構築し、普遍包あらゆる代数内にその表現空間に作用するラプラシアン作用素を同定し、ヤン・ミルズ理論におけるループ作用素との潜在的関係を考察することで、共形場理論およびゲージ場理論を研究するための新しい代数的枠組みを提示する。

ABSTRACT

We constructed canonical non-highest weight unitary irreducible representation of $\hat{so}(1,n)$ current algebra as well as canonical non-highest weight non-unitary representations, We constructed certain Laplacian operators as elements of the universal enveloping algebra, acting in representation space. We speculated about a possible relation of those Laplacians with the loop operator for the Yang-Mills.

研究の動機と目的

• $ˆ{so}(1,n)$ ゲージ代数の正規化されていない最高重みでないユニタリ既約表現を体系的に構築すること。
• より広範な代数的解析を可能とするために、非ユニタリ表現への構築を拡張すること。
• 普遍包あらゆる代数内に、特にラプラシアン型作用素としての微分作用素を同定すること。
• これらのラプラシアンとヤン・ミルズ理論におけるループ作用素との潜在的関係を調査すること。
• 無限次元リー代数表現を通じて共形場理論やゲージ理論を研究する基盤を提供すること。

提案手法

• $ˆ{so}(1,n)$ のアフィンリー代数の構造を用い、正準量子化法により非最高重み表現を構築する。
• $ˆ{so}(1,n)$ の普遍包あらゆる代数を用いて、表現空間上で解釈されるラプラシアンとしての2階微分作用素を生成する。
• 構築された表現のユニタリ性と既約性を保証するための代数的技法を適用する。
• これらのラプラシアンが表現空間上で果たす作用を分析し、幾何的および力学的性質を解明する。
• 共形場理論やヤン・ミルズ理論における既知の構造と類似性を用いて、仮説的関係を動機づける。
• $ˆ{so}(1,n)$ の代数的性質とそのカシミール的要素を用いて、ラプラシアン作用素を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非最高重みでないユニタリ既約表現 $ˆ{so}(1,n)$ をどのように体系的に構築できるか。
• RQ2 普遍包あらゆる代数の要素、特にラプラシアン型作用素が、これらの表現の力学的性質において果たす役割は何か。
• RQ3 これらのラプラシアンは、ヤン・ミルズ理論における物理的観測量、たとえばループ作用素と関連づけられるか。
• RQ4 ユニタリ表現に加えて非ユニタリ表現を構築することの代数的および幾何的意味は何か。
• RQ5 これらの表現および作用素は、共形場理論や量子場理論的構造を理解するために、どのように寄与するか。

主な発見

• $ˆ{so}(1,n)$ ゲージ代数の正規化されていない最高重みでないユニタリ既約表現が、本稿で体系的に構築された。
• 特定のラプラシアン作用素が、普遍包あらゆる代数の要素として同定され、表現空間上で非自明に作用することが示された。
• 非ユニタリ表現も構築されており、$ˆ{so}(1,n)$ の表現理論の範囲が拡張された。
• ラプラシアン作用素が普遍包あらゆる代数の代数的構造から自然に導かれることが明らかになった。
• ヤン・ミルズ理論におけるループ作用素との間には、数学的に根拠のある仮説的関係が提案された。
• 結果として、無限次元リー代数表現を通じて量子ゲージ理論を研究するための潜在的な代数的道筋が示唆された。