[論文レビュー] On Unsteady Heat Conduction in a Harmonic Crystal

А. М. Кривцов|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、1次元調和格子における非定常熱伝導をモデル化する非局所温度形式を提案する。時間反転対称性を持つ熱波動方程式を導出し、有限の熱フロント速度と長さに依存しない熱フラックスを予測するが、これはフォーリエの法則とは顕著に異なる。この手法により、分子動力学シミュレーションおよび解析的推定と整合する構成則が得られ、低次元系における異常熱輸送が明らかになる。

ABSTRACT

An analytical model of unsteady heat transfer in a one-dimensional harmonic crystal is presented. A nonlocal temperature is introduced as a generalization of the kinetic temperature. A closed equation determining unsteady thermal processes in terms of the nonlocal temperature is derived. For an instantaneous heat perturbation a time-reversible equation for the kinetic temperature is derived and solved. The resulting constitutive law for the heat flux in the considered system is obtained. This law significantly differs from Fourier's law and it predicts a finite velocity of the heat front and independence of the heat flux on the crystal length. The analytical results are confirmed by computer simulations.

研究の動機と目的

• 1次元調和格子における非定常熱伝導の厳密なマクロスコピック記述を構築し、フォーリエの法則を超えること。
• 特にナノ構造において異常熱輸送が観測される低次元系においてフォーリエの法則が失敗することを扱うこと。
• 運動温度の非局所一般化を用いて、熱的プロセスの閉形式方程式を導出すること。
• 有限速度での熱伝播と結晶長に依存しない性質を捉える熱フラックスの構成則を確立すること。
• 分子動力学シミュレーションおよび先行する解析的結果と比較することで、解析的モデルを検証すること。

提案手法

• 粒子速度の共分散として定義される非局所温度 θₙ(x) を導入し、標準的な運動温度 T(x) = m⟨ẋ²⟩/k_B を一般化する。
• バービアル近似および空間的滑らかさの仮定を用いて、θₙ(x,t) に対する閉形式の微分差分方程式を導出： ÿₙ + ½c²(θₙ₋₁ − 2θₙ + θₙ₊₁)′′ = 0。
• 漸近解析を適用し、微分差分方程式を局所的運動温度 T(x,t) に対する偏微分方程式に簡略化し、時間反転対称性を持つ熱波動方程式を導出： ÿ = c²T′′。
• 即時の熱摂動に対する解析的解を導出し、自己相似解 T = T(x/(ct)) を得る。
• 10⁸個の粒子に達する系を用いた分子動力学シミュレーションと比較することで、解析的解の妥当性を検証し、系サイズの増大に伴い収束することを確認。
• 古典的モデル（熱拡散方程式、熱波動方程式、波動方程式）と比較し、特に x = ct における滑らかで垂直な接線を持つ熱フロントの特徴を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元調和格子における非定常熱伝導は、非局所温度形式を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 調和格子における熱フラックスの構成則の形は何か？ また、フォーリエの法則とはどのように異なるか？
• RQ3 調和格子において熱フロントは有限速度で伝播するか？ また、熱フラックスは結晶長に依存しないか？
• RQ4 解析的予測は、温度プロファイルおよび熱フロントダイナミクスの観点から、分子動力学シミュレーションとどの程度一致するか？
• RQ5 調和系における微視的運動から、時間反転対称性を持つマクロスコピックな熱伝導方程式を厳密に導出できるか？

主な発見

• 非局所温度形式は運動温度を効果的に一般化し、調和格子における非定常熱的プロセスの閉形式方程式の導出を可能にする。
• 得られたマクロスコピック方程式（運動温度 T(x,t) に対して）は、時間反転対称性を持つ熱波動方程式 ÿ = c²T′′ であり、有限の熱フロント速度 c を予測する。
• 解析的解は自己相似性 T = T(x/(ct)) を示し、x = ct における滑らかで垂直な接線を持つ熱フロントを有し、シミュレーション結果と一致する。
• 熱フラックスの構成則は、結晶長に依存しないことを予測し、1次元調和系における熱超伝導と整合する。
• モデルは、古典的熱拡散方程式の無限大のフロント速度や、熱波動方程式の段階的フロントとは対照的に、有限の熱フロント速度を予測する。
• 最大10⁸個の粒子を用いた分子動力学シミュレーションは、解析的解と優れた一致を示し、系サイズの増大に伴い収束することが確認された。