[論文レビュー] On upper bounds for regularity indices related to approximation theory

Petru A. Cioica-Licht, Markus Weimar|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2019

Mathematical Approximation and Integration被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、Sobolev正則性 $\overline{s}_p$ を用いて、Besov空間における極限正則性指数 $\overline{\alpha}_p$ の上界を確立する。これは、擬Banach空間における古典的埋め込みと複素補間を活用したものである。本稿は、ポアソン方程式に対する既存のBesov正則性結果が鋭いことを証明し、Lipschitz領域上での適応的メソッドの収束率とSobolev正則性を結びつける。

ABSTRACT

We study the interrelation between the limit $L_p(\Omega)$-Sobolev regularity $\overline{s}_p$ of (classes of) functions on bounded Lipschitz domains $\Omega\subseteq\mathbb{R}^d$, $d\geq 2$, and the limit regularity $\overline{\alpha}_p$ within the corresponding adaptivity scale of Besov spaces $B^\alpha_{ au, au}(\Omega)$, where $1/ au=\alpha/d+1/p$ and $\alpha>0$ ($p>1$ fixed). The former determines the convergence rate of uniform numerical methods, whereas the latter corresponds to the convergence rate of best $N$-term approximation. We show how additional information on the Besov or Triebel-Lizorkin regularity may be used to deduce upper bounds for $\overline{\alpha}_p$ in terms of $\overline{s}_p$ simply by means of classical embeddings and the extension of complex interpolation to suitable classes of quasi-Banach spaces due to Kalton, Mayboroda, and Mitrea (Contemp. Math. 445). The results are applied to the Poisson equation, to the $p$-Poisson problem, and to the inhomogeneous stationary Stokes problem. In particular, we show that already established results on the Besov regularity for the Poisson equation are sharp. Keywords: Non-linear approximation, adaptive methods, Besov space, Triebel-Lizorkin space, regularity of solutions, stationary Stokes equation, Poisson equation, $p$-Poisson equation, Lipschitz domain.

研究の動機と目的

• 有界なLipschitz領域上の関数について、$L_p(\Omega)$-Sobolev正則性 $\overline{s}_p$ を適応的スケール正則性 $\overline{\alpha}_p$ に結びつけること。
• 古典的埋め込み定理と高度な補間技術を用いて、$\overline{s}_p$ による $\overline{\alpha}_p$ の上界を導出すること。
• ポアソン方程式、$p$-ポアソン方程式、定常ストークス方程式を含む主要な偏微分方程式に理論枠組みを適用すること。
• 開発された上界を用いて、ポアソン方程式に対する既存のBesov正則性結果の鋭さを示すこと。

提案手法

• 固定された $p > 1$ と $\alpha > 0$ に対して、$1/\mu = \alpha/d + 1/p$ を用いて、適応的スケール $B^\alpha_{\mu,\mu}(\Omega)$ を定義する。
• Sobolev空間とBesov空間の間の古典的埋め込みを適用し、$\overline{s}_p$ と $\overline{\alpha}_p$ を結びつける。
• Kalton, Mayboroda, および Mitrea による擬Banach空間への複素補間の拡張を用いて、非凸または類似非凸な関数空間を扱う。
• Lipschitz領域の文脈において、Sobolev正則性と補間推定値を組み合わせることで、$\overline{\alpha}_p$ の上界を導出する。
• 特定のPDEに対して、その解のBesov空間およびTriebel-Lizorkin空間における正則性を分析することにより、理論的上界を適用する。
• 導出された上界がポアソン方程式の既知の正則性指数と一致することを示すことで、既存結果の鋭さを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適応的 $N$-項近似スケールにおける極限正則性 $\overline{\alpha}_p$ は、Sobolev正則性 $\overline{s}_p$ に対してどのように上界をもつことができるか？
• RQ2 擬Banach空間における古典的埋め込みと複素補間は、このような上界を導出する際に果たす役割は何か？
• RQ3 提案された枠組み下で、ポアソン方程式に対する以前に確立されたBesov正則性結果は鋭いか？
• RQ4 $p$-ポアソン方程式およびストークス方程式の文脈において、正則性指数 $\overline{s}_p$ と $\overline{\alpha}_p$ はどのように関係するか？
• RQ5 Sobolev正則性とBesov正則性の相乗効果を体系的に活用することで、適応的数値解法における収束率を予測できるか？

主な発見

• 上界 $\overline{\alpha}_p$ は、古典的埋め込みと複素補間を介して $\overline{s}_p$ から導出され、一様収束率と適応的収束率の理論的関連を提供する。
• 理論枠組みにより、ポアソン方程式に対する既存のBesov正則性結果が鋭いことが確認された。導出された上界は、既知の正則性指数と一致する。
• $p$-ポアソン問題および非同次定常ストークス方程式に対して、$\overline{s}_p$ を用いた $\overline{\alpha}_p$ の新たな上界推定値が得られた。
• 擬Banach空間における複素補間の使用により、古典的手法による正則性転送がより広い関数空間クラスへ拡張可能となった。
• 結果として、Sobolev正則性 $\overline{s}_p$ が、$\overline{\alpha}_p$ を介した最良の $N$-項近似率を予測するための信頼できる代理指標であることが示された。
• 結果は、$d \geq 2$ の一般の有界Lipschitz領域 $\mathbb{R}^d$ に対して成り立つため、楕円型および定常PDEに広く適用可能である。