[論文レビュー] On upper bounds of arithmetic degrees

Yohsuke Matsuzawa|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、$\overline{\mathbb{Q}}$ 上の滑らかで射影的代数多様体上の有理自己写像の下での点の算術次数について、上界を確立する。具体的には、上算術次数 $\overline{\alpha}_f(P)$ が第一力学的次数 $\delta_f$ によって上から抑えられることを証明する。高さ関数とネロン＝セベリ群上のスペクトル半径推定を用いて、先行研究における誤った証明を是正し、ピカール数が1であり $\delta_f > 1$ であるような条件下で、正規化された高さの極限 $\lim_{n\to\infty} h_X(f^n(P))/\delta_f^n$ の収束を示す。この結果は、算術的力学における重要な予想を裏付けるものである： $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth projective variety over $ \overline{\mathbb Q}$, and $f:X -rightarrow X$ be a dominant rational map. Let $δ_{f}$ be the first dynamical degree of $f$ and $h_{X}:X( \overline{\mathbb Q}) o [1,\infty)$ be a Weil height function on $X$ associated with an ample divisor on $X$. We prove several inequalities which give upper bounds of the sequence $(h_X (f^n(P)))_{n\geq0}$ where $P$ is a point of $X( \overline{\mathbb Q})$ whose forward orbit by $f$ is well-defined. As a corollary, we prove that the upper arithmetic degree is less than or equal to the first dynamical degree; $ \overlineα_{f}(P) \leq δ_{f}$. Furthermore, if the Picard number of $X$ is one, $f$ is algebraically stable and $δ_{f}>1$, we prove that the limit defining canonical height $\lim_{n o \infty} h_{X} (f^{n}(P)) \big/ δ_f^n$ converges.

研究の動機と目的

• 有理自己写像の下での点の上算術次数が第一力学的次数によって上から抑えられることを証明するという予想に取り組む。
• Kawaguchi-Silverman [13] で誤って示された不等式 $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$ の正しい証明を提供する。
• 特にピカール数が1で $\delta_f > 1$ の場合に、有理自己写像に対して canonical 高さ関数が存在する条件を確立する。
• 特異点の解消と数的同値関係の議論を用いて、正標数における高さ関数と力学的次数の理論を拡張する。
• ネロン＝セベリ群上の $L^2$ ノルムとスペクトル半径の技法を用いて、Weil 高さの反復写像における成長に対する厳密な推定を提供する。

提案手法

• 第一力学的次数 $\delta_f$ を、$N^1(X)_\mathbb{R}$ 上での引き戻し作用のスペクトル半径として定義する。特異点の解消を用いて、除法類に沿った $f^*$ の定義を行う。
• 数的自明な除法にまつわる高さの境界から導かれる、高さの成長に関する再帰的不等式 $c_{n+1} \leq \widetilde{C}n^2 c_0 + C_3 \sqrt{\widetilde{C}n^2 c_0}$ を用いる。
• 適切な条件下で、$b_{n+1} = b_n + C\sqrt{b_n}$ を満たす主要化列 $b_n$ を用いた比較議論を行い、$\widetilde{C}n^2 b_0$ によって上から抑えられることを示す。
• ネロン＝ターティー高さの枠組みを用い、$\delta_f > 1$、ピカール数が1、$f$ が代数的に安定である場合に、$h_X(f^n(P))/\delta_f^n$ の収束を示す。
• アーベル被覆に関する結果を用いて、数的自明な除法はアーベル的除法に対して有界な高さを持つことから、高さ推定における誤差項を制御する。
• 代数的同値な線分束を引き戻すようなアーベル多様体への準同型の存在を用いて、正標数への証明の適応を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $P \in X_f(\overline{\mathbb{Q}})$ に対して、上算術次数 $\overline{\alpha}_f(P)$ は $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$ を満たすか？
• RQ2 有理自己写像に対して、canonical 高さ $\lim_{n\to\infty} h_X(f^n(P))/\delta_f^n$ が存在する条件は何か？
• RQ3 Kawaguchi-Silverman [13] における $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$ の誤った証明は、高さ関数の推定とスペクトル半径の制御を用いて是正可能か？
• RQ4 代数的安定性とピカール数が1の下で、$h_X(f^n(P))$ の成長は $\delta_f^n$ の定数倍によって抑えられるか？
• RQ5 正標数における特異多様体に対しても、数的自明な除法の高さ推定を拡張可能か？

主な発見

• 上算術次数 $\overline{\alpha}_f(P)$ は第一力学的次数 $\delta_f$ によって上から抑えられ、すなわち $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$ が成り立つ。これは算術的力学における重要な予想を解決する。
• ピカール数が1で、$f$ が代数的に安定かつ $\delta_f > 1$ であるとき、canonical 高さ関数 $\lim_{n\to\infty} h_X(f^n(P))/\delta_f^n$ は収束する。
• 適切な初期条件のもとで、$c_n = h_X^+(f^n(P))$ の列に対して再帰的高さの上界 $c_{n+1} \leq \widetilde{C}(n+1)^2 c_0$ が確立される。
• Kawaguchi と Silverman [13] の元の証明の誤りは、主要化列と $N^1(X)_\mathbb{R}$ 上でのスペクトル半径推定を用いることで是正された。
• アーベル的除法 $H$ を基準として、数的自明な除法 $E$ に関連する高さ関数は、ある定数 $C$ を用いて $|h_E| \leq C\sqrt{h_H}$ を満たす。これにより、高さ成長推定における誤差が制御される。
• 正標数では、代数的同値な線分束を引き戻すようなアーベル多様体への準同型の存在を用いることで、高さ推定が拡張され、数的自明な除法に関する主要な不等式が保たれる。