[論文レビュー] On Upward-Planar L-Drawings of Graphs

Patrizio Angelini, Steven Chaplick+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、上向き平面L図形（垂直および水平セグメントを持つL字型ポリラインで表される辺を有する）を許容する平面有向非巡回グラフ（DAG）の特徴付けを提示する。その特徴付けは、ビトニックst順序付けを持つ平面stグラフの部分グラフでなければならないことを示している。著者は、固定埋め込みおよび可変埋め込みの両方の設定において、単一ソースまたは単一シンクのDAG、ならびにカチ、2重連結系列並列グラフに対して、線形時間で上向き平面L図形をテストするアルゴリズムを開発した。

ABSTRACT

In an upward-planar L-drawing of a directed acyclic graph (DAG) each edge $e$ is represented as a polyline composed of a vertical segment with its lowest endpoint at the tail of $e$ and of a horizontal segment ending at the head of $e$. Distinct edges may overlap, but not cross. Recently, upward-planar L-drawings have been studied for $st$-graphs, i.e., planar DAGs with a single source $s$ and a single sink $t$ containing an edge directed from $s$ to $t$. It is known that a plane $st$-graph, i.e., an embedded $st$-graph in which the edge $(s,t)$ is incident to the outer face, admits an upward-planar L-drawing if and only if it admits a bitonic $st$-ordering, which can be tested in linear time. We study upward-planar L-drawings of DAGs that are not necessarily $st$-graphs. On the combinatorial side, we show that a plane DAG admits an upward-planar L-drawing if and only if it is a subgraph of a plane $st$-graph admitting a bitonic $st$-ordering. This allows us to show that not every tree with a fixed bimodal embedding admits an upward-planar L-drawing. Moreover, we prove that any acyclic cactus with a single source (or a single sink) admits an upward-planar L-drawing, which respects a given outerplanar embedding if there are no transitive edges. On the algorithmic side, we consider DAGs with a single source (or a single sink). We give linear-time testing algorithms for these DAGs in two cases: (i) when the drawing must respect a prescribed embedding and (ii) when no restriction is given on the embedding, but it is biconnected and series-parallel.

研究の動機と目的

• 平面DAGが上向き平面L図形を許容する条件を特徴付けること。
• 固定双モード埋め込みを持つ木がそのような図形を許容しない場合の条件を特定すること。
• 単一ソースまたは単一シンクDAGにおける上向き平面L図形をテストする効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 可変埋め込み設定における、サイクルのないカチおよび2重連結系列並列DAGへの結果の拡張。
• 一般DAGにおける上向き平面L図形のテストの複雑性ギャップを解消すること。

提案手法

• 特徴付けを提案：平面DAGが上向き平面L図形を許容するための必要十分条件は、ビトニックst順序付けを持つ平面stグラフの部分グラフであること。
• 有向無閉路カチに対しては、深さ優先探索を用い、後順序番号および前順序番号に基づいてx座標およびy座標を割り当てる。
• 系列並列構造のコンポーネント上で動的計画法を適用し、極の種別およびフリー・フラグに関する制約を用いて部分グラフの種別を統合する。
• 埋め込み選択と整合性を符号化するためのコンポーネントのタイプシステム（南/北タイプ、フラグ）を導入する。
• 系列並列グラフにおける有効な埋め込みシーケンスを検証するために、正規表現のマッチングアルゴリズムを適用する。
• 線形時間でのテストに不可欠な構造的性質として、ビトニックst順序付けを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの平面DAGが上向き平面L図形を許容するか。そのために必要な十分条件は何か。
• RQ2 固定双モード埋め込みを持つすべての木が上向き平面L図形として描画可能か。
• RQ3 固定平面埋め込みにおける単一ソースまたは単一シンクDAGに対して、上向き平面L図形を線形時間でテストするアルゴリズムは存在するか。
• RQ4 2重連結系列並列DAGに対して、可変埋め込み設定において上向き平面L図形を効率的にテストできるか。
• RQ5 DAGのどの構造的性質（例：カチ、系列並列）が、そのような図形の存在を保証するか。

主な発見

• 平面DAGが上向き平面L図形を許容するための必要十分条件は、ビトニックst順序付けを持つ平面stグラフの部分グラフであること。
• 固定双モード埋め込みを持つ木のうち、上向き平面L図形を許容しないものがある。これは、一般化の可能性を否定する。
• 単一ソースまたは単一シンクを持つ有向無閉路カチは、すべて上向き平面L図形を許容する。これは深さ優先探索に基づく座標割り当てにより計算可能である。
• 単一ソースまたは単一シンクの2重連結系列並列DAGに対しては、ある埋め込みにおいて上向き平面L図形が存在するための必要十分条件は、有効なタイプ組み合わせが存在することであり、これは線形時間でテスト可能である。
• コンポーネントタイプとフリー・フラグを用いたアルゴリズムフレームワークにより、タイプの合成が定数時間で可能となり、全体の計算量が線形時間で抑えられる。
• 一般DAG（複数のソースおよびシンクを含む）および可変埋め込み設定下での一般系列並列DAGについては、問題の解決は未解決のままである。