[論文レビュー] On Utility Maximisation Under Model Uncertainty in Discrete-Time Markets

Miklós Rásonyi, Andrea M. Rodrigues|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、1つの無リスク資産と有限個のリスク資産を持つ離散時間市場におけるモデル不確実性下での最適ポートフォリオ選択を研究する。有界な効用関数の場合に最適投資戦略の存在を確立し、強化されたアービッジフリー条件のもとでこれを非有界効用へ拡張する。本稿では、すべての価格過程を同一の確率空間上で定義するという画期的な枠組みを用いる。これは、家族の測度の下で定義される従来のアプローチとは対照的である。

ABSTRACT

We study the problem of maximising terminal utility for an agent facing model uncertainty, in a frictionless discrete-time market with one safe asset and finitely many risky assets. We show that an optimal investment strategy exists if the utility function, defined either over the positive real line or over the whole real line, is bounded from above. We further find that the boundedness assumption can be dropped provided that we impose suitable integrability conditions, related to some strengthened form of no-arbitrage. These results are obtained in an alternative framework for model uncertainty, where all possible dynamics of the stock prices are represented by a collection of stochastic processes on the same filtered probability space, rather than by a family of probability measures.

研究の動機と目的

• 摩擦を伴う離散時間金融市場におけるモデル不確実性下での効用最大化を扱う。
• すべての可能な価格過程を、家族の測度ではなく、一つのフィルター付き確率空間上の確率過程として表現する新しい枠組みを構築する。
• 有界な効用関数の場合に最適投資戦略の存在を確立し、強化されたアービッジフリー条件の下でこれを非有界効用へ拡張する。
• 支配的または非支配的測度に依存しない代替仮定のもとで存在結果を提供し、ロバストポートフォリオ選択における新たな理論的知見をもたらす。

提案手法

• モデル不確実性は、固定されたフィルター付き確率空間上に定義された確率過程の族 $\mathcal{S}$ として表現される。各過程は妥当な価格動態を表す。
• 効用最大化問題は、$\mathcal{S}$ 内のすべての過程についての最悪ケース期待効用の最小化として定式化される。すなわち、$\Xi(\phi) = \inf_{S \in \mathcal{S}} \mathbb{E}^P\left[U(W^S_T(w_0, \phi))\right]$ である。
• 正の効用成分の一様可積分性とde la Vallée-Poussinの定理を用いて、汎関数 $\Xi$ の上半連続性を確立する。
• 有界な効用関数の場合、許容戦略空間における逐次コンパクト性と凸性の議論により最適化子の存在を証明する。
• 非有界な効用関数の場合、一様可積分性と最適戦略の存在を保証するための積分可能性条件（例：$\mathbb{E}^P[(W^S_T)^-]^{\alpha\theta} < \infty$）を課す。
• 有界なRadon-Nikodym微分を用いた等価マルティンゲール測度 $Q(S)$ の構成により、$Q(S)$ の下でのマルティンゲール性質を保証し、マルティンゲール技法の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な上界を持つ効用関数の場合、離散時間市場におけるモデル不確実性下で最適投資戦略が存在する条件は何か？
• RQ2 有界性仮定を緩和可能か？ もし可能であれば、どのような積分可能性およびアービッジフリー条件が必要か？
• RQ3 すべてのモデルが同一の確率空間上に定義される本稿の枠組みは、従来の非支配的測度アプローチと比較して、存在性およびロバストネスの観点でどのように異なるか？
• RQ4 有界な密度比を持つ等価マルティンゲール測度が、非有界効用下での最適戦略の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 新しい枠組みのもとで、最悪ケース期待効用汎関数が上半連続であることを示せるか？ そして、この性質が最適化子の存在をどのように支援するか？

主な発見

• 有界な上界を持つ効用関数（正の実数直線または全実数直線上で定義）に対して、本稿の枠組みのもとで最適投資戦略が存在する。
• 非有界な効用関数の場合、特に $\mathbb{E}^P[(W^S_T)^-]^{\alpha\theta} < \infty$ を満たす $\theta > 1$ および $\alpha\theta < 1$ が存在するような強化されたアービッジフリー条件の下で、最適戦略の存在が確立される。
• 許容戦略空間上で $\Xi(\phi) = \inf_{S \in \mathcal{S}} \mathbb{E}^P[U(W^S_T(w_0, \phi))]$ は上半連続であり、上界の達成が保証される。
• 有界な密度 $dQ(S)/dP$ を持つ等価マルティンゲール測度 $Q(S)$ の存在により、マルティンゲール技法の適用が可能となり、富過程の一様可積分性が保証される。
• 証明技法は、$U^+(W^S_T)$ の一様可積分性を確立する de la Vallée-Poussin の定理に依存しており、収束性および下半連続性の観点で不可欠な役割を果たす。
• 先行研究で用いられる公理的集合論的仮定（例：Martinの公理）に依存せず、より弱い条件下でより直接的かつ構成的な存在証明を提供する。