[論文レビュー] On Value at Risk for foreign exchange rates - the copula approach

Piotr Jaworski|ArXiv.org|Aug 18, 2006

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、為替市場の新興国におけるポートフォリオのバリューアットリスク（VaR）を推定するためのコプシラベースの手法を提案する。リターンのパワーロー尾部と下側尾部における同質的コプシラ構造を活用し、個々の尾部行動とコプシラの同質性に基づいてポートフォリオVaRの境界を導出する。特定の条件下で分散投資されたVaRが個々のVaRの重み付き和で上から抑えられることを示し、ポーランドのEUR/CHF為替レートデータを用いて実証的に検証した。

ABSTRACT

The aim of this paper is to determine the Value at Risk (VaR) of the portfolio consisting of long positions in foreign currencies on an emerging market. Basing on empirical data we restrict ourselves to the case when the tail parts of distributions of logarithmic returns of these assets follow the power laws and the lower tail of associated copula C follows the power law of degree 1. We will illustrate the practical usefulness of this approach by the analysis of the exchange rates of EUR and CHF at the Polish forex market.

研究の動機と目的

• 新興市場における為替ポジションのポートフォリオバリューアットリスク（VaR）をコプシラベースの手法で推定すること。
• EUR や CHF などの主要通貨の対数リターンの連合尾部依存を、パワーロー行動を示すコプシラを用いてモデル化すること。
• コプシラの下側尾部の同質性と周辺分布のパワーロー減衰に基づいて、ポートフォリオVaRの理論的境界を確立すること。
• ポーランド外国為替市場（1995–2006年）の日次為替レートデータを用いて、モデルを実証的に検証すること。
• 尾部依存と周辺尾部行動を組み合わせることで、極端な市場動向に対しても頑健な実用的VaR推定を提供すること。

提案手法

• リターンの連合分布はコプシラ C でモデル化され、EUR と CHF のリターン分布を表す周辺分布 F₁ と F₂ を含む。
• コプシラの下側尾部は、度数 1 の同質的であると仮定する。すなわち、q₁, q₂ が小さいとき、C(q₁, q₂) ≈ L(q₁, q₂) であり、L は正の同質的関数で度数 1 である。
• 対数リターンの周辺分布はパワーロー尾部でモデル化される：t ≈ −1 の近傍で Fᵢ(t) ≈ aᵢ·(bᵢ − ln(1+t))⁻ᵞᵢ となる。
• ポートフォリオリターン R = w₁R₁ + w₂R₂ は、集合 V_r に属する分位数 q₁, q₂ に対して w₁F₁⁻¹(q₁) + w₂F₂⁻¹(q₂) ≤ r を満たすコプシラ測度 μ_C(V_r) を通して分析される。
• 同質的コプシラ L における集合 V_r の体積を分析することで、凸性および比関数 ψ(q₁) = q₁/φ_r(q₁) の単調性の性質を用いて、VaR の理論的境界を導出する。
• 証明はコプシラ測度の積分表現と、多変量分布を周辺分布とコプシラに分解するスクラーの定理の応用に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連合尾部依存がパワーロー行動を示す場合、分散投資された為替ポートフォリオのバリューアットリスク（VaR）はどのように推定可能か？
• RQ2 コプシラと周辺分布にどのような条件下で、ポートフォリオVaRが個々のVaRの重み付き和で上から抑えられるか？
• RQ3 実際の為替データにおいて、コプシラの下側尾部はどの程度まで度数 1 の同質的関数で近似可能か？
• RQ4 個々の通貨リターンのパワーロー尾部は、依存性を伴うポートフォリオリスク推定にどのように影響を与えるか？
• RQ5 理論的VaR境界は、新興市場の実際の為替レートデータを用いて実証的に検証可能か？

主な発見

• 信頼水準 α < α* に対して、コプシラの下側尾部が度数 1 の同質的である場合、VaR₁₋ₗ(₁,₁)α(W) ≥ w₁VaR₁₋ₐ(S₁) + w₂VaR₁₋ₐ(S₂) が成り立ち、ポートフォリオVaRの下限境界が得られる。
• 周辺分布がパワーロー尾部で γᵢ > 1 を満たすという追加仮定のもとで、ポートフォリオVaRは VaR₁₋ₐ(W) ≤ w₁VaR₁₋ₐ(S₁) + w₂VaR₁₋ₐ(S₂) を満たし、上界境界が確立される。
• ポーランドにおける EUR および CHF の為替レート（1995–2006年）の実証的分析により、コプシラの下側尾部が最大で 10% の尾部まで度数 1 の同質的関数で近似可能であることが確認された。
• 40% EUR / 60% CHF のポートフォリオの実証的VaRは、コプシラと周辺尾部仮定に基づいて導出された理論的上界に非常に近い値を示した。
• 関数 ψ(q₁) = q₁/φ_r(q₁) は厳密に増加かつ強凸的であるため、上界VaR推定の証明に用いられた積分境界の妥当性が裏付けられる。
• 理論的境界は尾部の広い範囲にわたり成立し、新興市場におけるリスク管理において実用的である。