[論文レビュー] On von Neumann spectral triples

M-T. Benameur, Thierry Fack|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$II_{\infty}$ フォン・ノイマン代数のための非可換幾何的枠組みとしてのフォン・ノイマンスペクトル三つ組を導入し、ディクスミエ・トレースを用いて解析的チェーン＝コーンズ特性の局所公式を確立する。さらに、葉層構造の文脈において、このトレースを測度付きウォドジツキ・トレースに同定し、無限次元代数のための非可換インデックス理論を構築する。

ABSTRACT

We define the notion of von Neumann spectral triple and consider the associated index problem. We compute the analytic Chern-Connes character of such a von Neumann spectral triple and prove the corresponding local formula for its Hochschild class. This formula involves the Dixmier trace for $II_{\infty}$ von Neumann algebras. In the case of foliations, we identify this Dixmier trace with the corresponding measured Wodzicki residue.

研究の動機と目的

• II_{\infty} フォン・ノイマン代数への非可換幾何の拡張を、フォン・ノイマンスペクトル三つ組の定義によって達成する。
• 解析的および位相的不変量を用いて、この新しい枠組みにおけるインデックス問題を解く。
• このような三つ組の解析的チェーン＝コーンズ特性を計算し、そのホッフシュィルト類のための局所公式を導出する。
• この文脈におけるディクスミエ・トレースを、葉層付き多様体における測度付きウォドジツキ・トレースに同定する。
• スペクトル理論的道具を用いて、無限次元代数のための非可換インデックス定理を確立する。

提案手法

• A が II_{\infty} フォン・ノイマン代数、H がヒルベルト空間、D が適切なスペクトル的および有界性条件を満たす非有界自己共役作用素である三つ組 (A, H, D) としてフォン・ノイマンスペクトル三つ組を定義する。
• II_{\infty} 代数に関連する可測作用素のイデアル上にトレース関数をディクスミエ・トレースを用いて定義する。
• フォン・ノイマン設定下でディラック作用素の指数関数のスーパートレースのトレースを用いて、解析的チェーン＝コーンズ特性を計算する。
• ホッフシュィルト類のための局所公式を、コンmutatorの積のディクスミエ・トレースを用いて表現することによって導出する。
• 葉層構造の場合に、スペクトルゼータ関数の漸近的挙動を分析することで、ディクスミエ・トレースと測度付きウォドジツキ・トレースの間の関係を確立する。
• 形式的枠組みを葉層付き多様体に適用し、スペクトル密度のディクスミエ・トレースがディラック作用素の記号の測度付きウォドジツキ・トレースに一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限トレースを持たない II_{\infty} フォン・ノイマン代数に対して、スペクトル三つ組の枠組みをどのように拡張できるか？
• RQ2 フォン・ノイマンスペクトル三つ組の解析的チェーン＝コーンズ特性とは何か？ そして、この無限次元設定においてどのように計算できるか？
• RQ3 II_{\infty} の文脈において、ディクスミエ・トレースを用いて、チェーン＝コーンズ特性のホッフシュィルト類のための局所公式を導出できるか？
• RQ4 この文脈におけるディクスミエ・トレースは、葉層理論における幾何的不変量（例えばウォドジツキ・トレース）とどのように関係するか？
• RQ5 フォン・ノイマンスペクトル三つ組のための非可換インデックス定理とは何か？ そして、アティヤ＝シンガーのインデックス定理をどのように一般化するか？

主な発見

• フォン・ノイマンスペクトル三つ組の解析的チェーン＝コーンズ特性は、II_{\infty} 代数における可測作用素のイデアル上でのディクスミエ・トレースを用いて計算される。
• ホッフシュィルト類のための局所公式が導出され、その中でディラック作用素とのコンmutatorの積のディクスミエ・トレースが明示的に登場する。
• 葉層構造の場合は、スペクトル密度のディクスミエ・トレースが、ディラック作用素の記号の測度付きウォドジツキ・トレースに一致することが同定された。
• この形式的枠組みは、有限トレースを超える非可換幾何の範囲を拡張する、II_{\infty} フォン・ノイマン代数のための非可換インデックス理論を提供する。
• 結果として、トレース関数を介してスペクトル不変量と幾何的残留量を結びつけることで、非可換幾何と葉層理論の間の橋渡しを確立した。