[論文レビュー] On warped product manifolds satisfying some pseudosymmetric type conditions

Absos Ali Shaikh, Haradhan Kundu|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、射影的曲率テンソルを含む、擬対称型の曲率条件を満たす歪み付き積半リーマン多様体を調査する。$ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ を満たす多様体の特徴づけ定理を導出し、$ L_2 \neq 0 $ の場合、基本多様体が平坦またはファイバーがアインシュタインであることを示す。特殊な場合として、半対称性、擬対称性、射影的曲率に基づく条件が回復される。

ABSTRACT

The object of the present paper is to study the characterization of warped product manifolds satisfying some pseudosymmetric type conditions, especially, due to projective curvature tensor. For this purpose we consider a warped product manifold satisfying the pseudosymmetric type condition $R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R)$ and evaluate its characterization theorem. As special cases of $L_1$ and $L_2$ we find out the necessary and sufficient condition for a warped product manifold to satisfy various pseudosymmetric type, such as pseudosymmetry, Ricci generalized pseudosymmetry, semisymmetry due to projective curvature tensor ($P\cdot R = 0$), pseudosymmetry due to projective curvature tensor ($P\cdot R = L Q(g,R)$) etc. Finally we present some suitable examples of warped product manifolds satisfying such pseudosymmetric type conditions.

研究の動機と目的

• 歪み付き積半リーマン多様体 $ M = \overline{M} \times_f \widetilde{M} $ が擬対称型条件 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ を満たすように特徴づけること。
• このような歪み付き積多様体が特定の曲率制約（半対称性、擬対称性、射影的曲率に基づく条件）を満たすための必要十分条件を同定すること。
• 特に $ L_2 \neq 0 $ の場合に、基本多様体とファイバー多様体に及ぼされる幾何的影響を検討し、その結果、基本多様体が平坦またはファイバーがアインシュタインであることを示すこと。
• さまざまな擬対称型条件を満たす歪み付き積多様体の明示的例を構成し、理論的結果を実証すること。
• 擬対称多様体が半対称多様体の完全縁状超曲面として得られることを、歪み付き積構造を用いて確立すること。

提案手法

• リーマン接続と曲率テンソルを用いて、歪み付き積多様体 $ M = \overline{M} \times_f \widetilde{M} $ に対して曲率条件 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ を導出する。
• 歪み付き積構造を適用して、リーマン曲率テンソル $ R $、リッチテンソル $ S $、射影的曲率テンソル $ P $ を基本多様体 $ \overline{M} $ とファイバー $ \widetilde{M} $ の成分に分解する。
• 条件 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ を用いて、歪み関数 $ f $、スカラー曲率 $ \kappa $、および基本・ファイバーの曲率テンソルを含む方程式系を導出する。
• 得られた方程式を解析し、$ L_2 \neq 0 $ の場合、$ \overline{R} = 0 $（基本多様体が平坦）または $ \widetilde{S} = \frac{\widetilde{\kappa}}{n-p} \widetilde{g} $（ファイバーがアインシュタイン）のいずれかが成り立つことを示す。
• 一般条件を特殊な場合に適用：$ L_1 = 0 $、$ L_2 = 0 $、$ L_1 = L_2 = 1 $、および $ L_2 = 0 $ で $ L_1 $ がスカラーの場合、それぞれ半対称性、擬対称性、射影的曲率に基づく条件を回復する。
• 特定の歪み関数と計量を用いて明示的例を構成し、曲率条件が満たされることを確認する。例には $ R\cdot R = a Q(g,R) $ および $ R\cdot R = Q(g,R) + \text{非定数項} \cdot Q(S,R) $ を満たすものも含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 歪み付き積多様体 $ M = \overline{M} \times_f \widetilde{M} $ が、擬対称型条件 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ を満たすための条件は何か？
• RQ2 曲率条件において $ L_2 \neq 0 $ のとき、基本多様体 $ \overline{M} $ とファイバー $ \widetilde{M} $ にどのような幾何的制約が課されるか？
• RQ3 $ L_1 = 1, L_2 = 0 $ や $ L_1 = 0, L_2 = 1 $ といった $ L_1 $ と $ L_2 $ の特殊な場合が、半対称性やリッチ一般化擬対称性といった既知の曲率条件とどのように対応するか？
• RQ4 擬対称多様体が半対称歪み付き積多様体の完全縁状超曲面として得られる可能性はあるか？
• RQ5 どのような歪み付き積多様体が $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ を満たし、それらが導出された条件をどのように検証するか？

主な発見

• 歪み付き積多様体 $ M = \overline{M} \times_f \widetilde{M} $ が $ L_2 $ がどこでもゼロでない $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ を満たす場合、基本多様体 $ \overline{M} $ が平坦またはファイバー $ \widetilde{M} $ がアインシュタインである。
• 特殊ケース $ R\cdot R = 0 $ の場合、基本多様体 $ \overline{M} $ は半対称であり、ファイバー $ \widetilde{M} $ は擬対称である。
• $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) $ の場合、基本多様体とファイバーの両方が擬対称である。
• $ P\cdot R = 0 $ の場合、射影的曲率テンソルにより多様体は半対称であり、これは基本多様体が平坦またはファイバーがアインシュタインであることに同値である。
• $ P\cdot R = L Q(g,R) $ の場合、条件は $ Q(g,R) $ のスカラー倍に簡略化され、再び基本多様体が平坦またはファイバーがアインシュタインである。
• 明示的例として $ R\cdot R = a Q(g,R) $ を満たすものが構成され、$ M $ が定数型の歪み付き積擬対称多様体であることが示された。$ a = 0 $ の場合、これは半対称になる。この場合、$ W\cdot R = 0 $ であるため、concircular曲率テンソルによる半対称型とみなせる。