[論文レビュー] On warped product submanifolds of Kenmotsu manifolds

S. K. Srivastava|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、β-Kenmotsu多様体における歪み付き積半スランブ部分多様体の存在および幾何的性質を調査する。特に、形式 $N_T \times_f N_\theta$ および $N_T \times_f N_\bot$ の構造に注目する。標準構造およびほぼ接触構造の共変微分を用いて、このような歪み付き積が、構造ベクトル場 $\xi$ が不変因子に含まれる場合に限り、特定の幾何的制約のもとでしか存在しないことを証明する。主な貢献は、スランブ角 $\theta$ を含む曲率型恒等式を用いて、このような歪み付き積の正規接続を特徴づけることであり、これにより非自明な幾何的障害が特定される。

ABSTRACT

In the present paper, we study warped product semi-slant submanifolds of Kenmotsu manifolds. We have obtained results on the existence of warped product semi-slant submanifolds of Kenmotsu manifolds in term of the canonical structure .

研究の動機と目的

• β-Kenmotsu多様体における歪み付き積半スランブ部分多様体の存在を調査すること。
• ほぼ接触計量多様体の標準構造が、このような部分多様体に課す幾何的制約を分析すること。
• $\xi$ が不変因子に含まれる場合に、形式 $N_T \times_f N_\theta$ もしくは $N_T \times_f N_\bot$ の歪み付き積が存在できるかどうかを特定すること。
• これらの部分多様体の幾何を支配する第二基本形式および正規接続に関する条件を導出すること。

提案手法

• ほぼ接触構造の接線成分および法成分への標準的分解を用いる：$\phi X = TX + NX$。
• ガウスおよびウェインガルテンの公式を適用し、周囲多様体のリーマン接続と部分多様体および法バンドル上の誘導接続との関係を定式化する。
• 歪み付き積計量と歪み関数 $f$ を用い、正規接続の式に $X(\ln f)$ 項を導入する。
• β-Kenmotsu多様体における条件 $\tilde{\nabla}_X \phi Y = \beta \{ g(\phi X, Y)\xi - \eta(Y)\phi X \}$ を用いて、正規接続 $\nabla_X^\perp NZ$ の式を導出する。
• 法成分 $\tilde{\nabla}_X N$ の共変微分を分析し、法ベクトルとの内積を計算することで幾何的恒等式を導出する。
• スランブ角 $\theta$ を用いて、$\phi Z$ および $\phi TZ$ の法成分を関連づけ、$\sec^2\theta$ を含む重要な恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造ベクトル場 $\xi$ が $TN_\theta$ に含まれる場合に、β-Kenmotsu多様体内に歪み付き積半スランブ部分多様体 $N_T \times_f N_\theta$ が存在する条件は何か？
• RQ2 $\xi \in TN_T$ の場合に、$N_T \times_f N_\bot$ 部分多様体における正規接続 $\nabla_X^\perp NZ$ から生じる幾何的制約は何か？
• RQ3 スランブ角 $\theta$ は、正規接続 $\tilde{\nabla}_X N$ の挙動にどのように影響するか？
• RQ4 $N_T \times_f N_\bot$ 部分多様体において、正規成分 $\tilde{\nabla}_X N$ が完全に不変法接バンドルに含まれるか？
• RQ5 歪み関数 $f$ は、反不変因子内の法ベクトルに対する $\tilde{\nabla}_X N$ の直交性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 構造 $M = N_\theta \times_f N_T$ で $\xi \in TN_\theta$ の場合、正規接続は $g((\tilde{\nabla}_X N)Z, NZ) = \sec^2\theta \cdot g((\tilde{\nabla}_X N)TZ, NTZ)$ を満たし、スランブ角に依存する曲率に類似た恒等式を確立する。
• $M = N_T \times_f N_\bot$ で $\xi \in TN_T$ の場合、正規接続 $\tilde{\nabla}_X N$ は完全に不変法接バンドル内に存在する。これは $g((\tilde{\nabla}_X N)Z, NW_1) = 0$ および $g((\tilde{\nabla}_X N)Z, \phi W_2) = 0$ （任意の $W_1, W_2 \in TN_\bot$）により示される。
• 第二基本形式は $\nabla_X^\perp NZ = (X \ln f) NZ + n h(X,Z)$ を満たし、歪み関数が正規接続に与える影響を結びつける。
• 恒等式 $g((\tilde{\nabla}_X N)Z, NW_1) = (X \ln f) g(Z, W_1)$ が成り立ち、正規接続が $\ln f$ の勾配によって制御されることを示す。
• 解析により、$\tilde{\nabla}_X N$ が $TN_\bot$ 内のすべての法ベクトルと直交することが確認され、したがって不変法接バンドル内に存在することが示される。
• 結果として、このような歪み付き積の存在は、周囲の β-Kenmotsu多様体の幾何およびスランブ角 $\theta$ によって強く制約されることを示している。