[論文レビュー] On Wasserstein geometry of the space of Gaussian measures

Asuka Takatsu|ArXiv.org|Jan 15, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、$L^2$-ウォッサーシュタイン距離を備えた平均がゼロのガウス測度の空間の断面曲率の明示的公式を導出しており、曲率が共分散行列の固有値にのみ依存することを示している。対称正定値行列の多様体上のリーマン幾何学を用いて、すべての曲率成分の閉形式の表現を提供し、オットーの形式的計算と一貫性を確認するとともに、全域で非負の曲率であることを確立している。

ABSTRACT

The space of Gaussian measures on a Euclidean space is geodesically convex in the $L^2$-Wasserstein space. This space is a finite dimensional manifold since Gaussian measures are parameterized by means and covariance matrices. By restricting to the space of Gaussian measures inside the $L^2$-Wasserstein space, we manage to provide detailed descriptions of the $L^2$-Wasserstein geometry from a Riemannian geometric viewpoint. We first construct a Riemannian metric which induces the $L^2$-Wasserstein distance. Then we obtain a formula for the sectional curvatures of the space of Gaussian measures, which is written out in terms of the eigenvalues of the covariance matrix.

研究の動機と目的

• $L^2$-ウォッサーシュタイン距離の下でのガウス測度の空間の厳密なリーマン幾何学的記述を提供すること。
• 共分散行列の固有値を用いて、平均がゼロのガウス測度の空間の断面曲率を明示的に計算すること。
• 無限次元のウォッサーシュタイン空間枠組みにおけるオットーの形式的曲率表現との一貫性を確認すること。
• 平均がゼロのガウス測度の空間が、$L^2$-ウォッサーシュタイン空間における測地的凸な部分多様体であり、非負の断面曲率を持つことを確立すること。

提案手法

• $L^2$-ウォッサーシュタイン距離を誘導する、平均がゼロのガウス測度の空間上のリーマン計量を構築すること。
• 各点における接空間を、正定値行列の多様体の微分構造を活用して、対称行列の空間に同定すること。
• 共分散行列の直交的対角化を用いて、行列単位を用いて正規直交接ベクトル場を定義すること。
• リーマン幾何学における断面曲率の公式を適用し、選択した正規直交フレームにおけるリーマン曲率テンソルを用いて曲率を計算すること。
• 計量の構造と対称空間$\mathrm{Sym}^+(d,\mathbb{R})$の幾何学を活用して、曲率の表現を導出すること。
• 2次元の例を用いて比較し、ベクトル場のノルムの積分を用いて曲率を計算することで、オットーの形式的曲率表現との一貫性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均がゼロのガウス測度の空間における$L^2$-ウォッサーシュタイン距離の下での断面曲率の明示的公式は何か？
• RQ2 この空間において、曲率は共分散行列の固有値にどのように依存するか？
• RQ3 平均がゼロのガウス測度の空間は、すべての確率測度の$L^2$-ウォッサーシュタイン空間の測地的凸な部分多様体か？
• RQ4 ここでの導出された曲率公式は、無限次元設定におけるオットーの形式的表現と調和するか？
• RQ5 行列構造と固有値分解の観点から、曲率表現の幾何的意味は何か？

主な発見

• 平均がゼロのガウス測度の空間の断面曲率は非負であり、共分散行列の固有値にのみ依存する。
• 添え字が $i=1$ または $j=d$ の接ベクトル $e_+$ と $f_{ij}$ に対して、曲率 $K(e_+,f_{ij}) = \frac{3\lambda_i\lambda_j}{(\lambda_i+\lambda_j)^2(\lambda_1+\lambda_d)}$ が成り立つ。
• 互いに異なる $i,j,k$ に対して $j \neq k$ であるとき、曲率 $K(e_{ik},f_{ij}) = \frac{3\lambda_i\lambda_j}{(\lambda_i+\lambda_j)^2(\lambda_i+\lambda_k)}$ が成り立つ。
• 曲率 $K(e_{ij},f_{ij}) = \frac{12\lambda_i\lambda_j}{(\lambda_i+\lambda_j)^3}$ は、同じ添え字に対して他のすべての曲率成分よりも最大である。
• 添え字集合が互いに素である、例えば $\{i,j\} \cap \{k,l\} = \emptyset$ であるような正規直交接ベクトルのペアに対して、曲率 $K(e_{ij},f_{kl}) = 0$ が成り立つ。
• 互いに異なる $j \neq k$ に対して、曲率 $K(f_{ij},f_{ik}) = \frac{3\lambda_j\lambda_k}{(\lambda_i+\lambda_j)(\lambda_j+\lambda_k)(\lambda_k+\lambda_i)}$ が成り立ち、3つの固有値にまなざしの対称的依存性を示す。