[論文レビュー] On weak solutions of stochastic differential equations with sharp drift coefficients

Jinlong Wei, Guangying Lv+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$2/q + d/p = 1$ を満たす条件下で、漂移係数が臨界的ルベーグ空間 $L^p({\mathbf{R}}^d)$ に属する確率微分方程式（SDE）に対して、弱解の存在および一意性を確立する。そのために、漂移項を時間に滑らかさを持つ部分と有界な部分に分解する。主な貢献は、関連する遷移半群に対してパスごとの一意性および強フォーラー性を証明し、クリロフとロイクナーの結果を鋭い正則性条件のもとでの臨界ケースに拡張することにある。

ABSTRACT

We extend Krylov and Röckner's result \cite{KR} to the drift coefficients in critical Lebesgue space, and prove the existence and uniqueness of weak solutions for a class of SDEs. To be more precise, let $b: [0,T] imes{\mathbb R}^d ightarrow{\mathbb R}^d$ be Borel measurable, where $T>0$ is arbitrarily fixed. Consider $$X_t=x+\int_0^tb(s,X_s)ds+W_t,\quad t\in[0,T], \, x\in{\mathbb R}^d,$$ where $\{W_t\}_{t\in[0,T]}$ is a $d$-dimensional standard Wiener process. If $b=b_1+b_2$ such that $b_1(T-\cdot)\in\mathcal{C}_q^0((0,T];L^p({\mathbb R}^d))$ with $2/q+d/p=1$ for $p,q\ge1$ and $\|b_1(T-\cdot)\|_{\mathcal{C}_q((0,T];L^p({\mathbb R}^d))}$ is sufficiently small, and that $b_2$ is bounded and Borel measurable, then there exits a unique weak solution to the above equation. Furthermore, we obtain the strong Feller property of the semi-group and existence of density associated with above SDE. Besides, we extend the classical partial differential equations (PDEs) results for $L^q(0,T;L^p({\mathbb R}^d))$ coefficients to $L^\infty_q(0,T;L^p({\mathbb R}^d))$ ones, and derive the Lipschitz regularity for solutions of second order parabolic PDEs (see Lemma 2.1).

研究の動機と目的

• クリロフとロイクナーの不規則な漂移係数をもつSDEに関する結果を、$2/q + d/p = 1$ となる臨界ケースに拡張すること。
• 漂移係数が臨界的ルベーグ空間 $L^p({\mathbf{R}}^d)$ に属し、$p,q \geq 1$ である場合に弱解の存在および一意性を確立すること。
• 関連するマルコフ過程の遷移密度の存在と強フォーラー性を証明すること。
• 古典的なPDE結果を $L^q(0,T;L^p({\mathbf{R}}^d))$ 係数から空間 $L^\infty_q(0,T;L^p({\mathbf{R}}^d))$ に拡張すること。

提案手法

• 漂移項 $b = b_1 + b_2$ を分解し、$\mathcal{I}_T b_1 \in \mathcal{C}_q^0((0,T];L^p({\mathbf{R}}^d))$ かつノルムが小さいものとし、$b_2$ を有界かつボレル可測なものとする。
• 問題を解析可能となる時間正則な設定に変換するために、時間反転変換 $\mathcal{I}_T$ を適用する。
• クリロフの事前推定とギルサノフの定理を用いて、$\|\mathcal{I}_T b_1\|_{\mathcal{C}_q((0,T];L^p)}$ の小さい条件のもとで弱解の存在および一意性を確立する。
• 解の流れの正則性を証明することで、ヤマダ＝ワタナベ理論を用いてパスごとの一意性を確立する。
• 空間および時間における遷移半群の連続性を示すことにより、強フォーラー性を導出する。
• 微分同相写像による遷移核の変換と、補題4.3における密度の可積分性を用いて、密度の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漂移係数が $L^p({\mathbf{R}}^d)$ に属し、$2/q + d/p = 1$ を満たすSDEに対して、弱解が存在し、一意であるか。
• RQ2 このようなSDEの遷移半群に対して強フォーラー性が成り立つか。
• RQ3 $L^q(0,T;L^p({\mathbf{R}}^d))$ 係数に対する古典的PDE結果を、空間 $L^\infty_q(0,T;L^p({\mathbf{R}}^d))$ に拡張できるか。
• RQ4 臨界的正則性条件および時間反転漂移の小さなノルムのもとで、パスごとの一意性が達成可能か。

主な発見

• 弱解は、$\|\mathcal{I}_T b_1\|_{\mathcal{C}_q((0,T];L^p)}$ が十分に小さく、$2/q + d/p = 1$ であるとき、$b = b_1 + b_2$ をもつSDEに対して存在し、一意である。
• SDEに関連する遷移半群は強フォーラー性を有し、初期状態における遷移確率の連続性を示唆する。
• 遷移確率測度はほとんど至る時間で密度をもつ。この密度はすべての $r \in [1,\infty)$ に対して $L^r$ 可積分性を満たす。
• 弱解の存在および一意性は、臨界条件 $2/q + d/p = 1$ のもとで確立され、クリロフとロイクナーの結果が準臨界領域を超えて拡張された。
• パスごとの一意性は $\mathcal{I}_T b_1 \in \mathcal{C}_q^0((0,T];L^p({\mathbf{R}}^d))$ のとき成り立ち、ヤマダ＝ワタナベ理論により強解の存在を示唆する。
• 本稿では、PDE正則性結果を $L^q(0,T;L^p)$ から $L^\infty_q(0,T;L^p)$ に拡張し、2階放物型PDEの解に対してリプシッツ正則性を証明した。