[論文レビュー] On weakly extremal structures in Banach spaces

Jarno Talponen|Institutional Repository University of Extremadura (University of Extremadura)|Jan 2, 2007

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、弱位相と回転性・滑らかさの幾何的性質との相互作用を分析することで、バナッハ空間における弱極小構造を調査する。双対空間が弱アスプリンドであり、ノルムを達成する汎関数がコメージャーであるようなバナッハ空間において、G滑らか点はω露呈点の集合内で孤立しえないことが示され、追加の条件下でω露呈点は単位球面上で稠密である。

ABSTRACT

This paper deals with the interplay of the geometry of the norm and the weak topology in Banach spaces. Both dual and intrinsic connections between weak forms of rotundity and smoothness ared discussed. Weakly exposed points, weakly locally uniformly rotund spaces, smoothness, duality and the interplay of all the above are studied.

研究の動機と目的

• バナッハ空間における弱位相の幾何的役割を理解すること、特に極小構造との関係を明らかにすること。
• 双対空間におけるG滑らか汎関数との双対性によってω露呈点を特徴付けること。
• ω露呈点が単位球面上で稠密となる条件を調査すること。
• 双対空間における等価なω-LURノルムへの再定規格化の可能性と弱完備性との関係を確立すること。
• 滑らか性、凸性、および双対写像における位相的性質の相互作用を明確にすること。

提案手法

• 単位球面からノルムを達成する汎関数への双対写像 $ J: \mathbf{S}_\mathbf{X} \to \mathcal{P}(\mathbf{S}_{\mathbf{X}^*}) $ を用いて、点とノルムを達成する汎関数を結びつける。
• 双対空間におけるG滑らか性の概念を用いて、ω露呈汎関数を特徴付ける。
• バーレのカテゴリ定理を用いて、G滑らか点およびノルムを達成する汎関数の集合の残渣的およびコメージャー的性質を分析する。
• シュムリヤン補題を用いて、アスプリンド空間におけるF滑らか性と強い露呈性の関係を関係づける。
• 相対的開性および稠密性の議論を用いて、ω露呈点の集合の位相的性質を分析する。
• 位相的トポロジーとしてのτ-LUR点（τ = 弱位相）の概念を用いて、弱収束下での局所的強回転性を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間の単位球面上で、ω露呈点の集合が稠密となる条件は何か？
• RQ2 単位球面上のG滑らか点が、ω露呈点の集合内で孤立しないように保証する条件は何か？
• RQ3 双対空間の弱アスプリンド性が、ω露呈点の稠密性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 どのような場合に、バナッハ空間がその双対空間における等価なω-LURノルムに再定規格化可能か？
• RQ5 双対空間におけるG滑らか性と、前対空間における点のω露呈性との関係は何か？

主な発見

• 点 $ x \in \mathbf{S}_\mathbf{X} $ がω露呈であるための必要十分条件は、その露呈汎関数が $ \mathbf{S}_{\mathbf{X}^*} $ でG滑らかであることである。これにより、滑らか性と弱露呈性との間の双対的関係が確立される。
• もし $ \mathbf{X}^* $ が弱アスプリンドであり、$ \mathrm{NA}(\mathbf{S}_{\mathbf{X}^*}) $ がコメージャーであるならば、$ \mathbf{S}_\mathbf{X} $ 内のいかなるG滑らか点も、$ \omega\text{-exp}(\mathbf{B}_\mathbf{X}) $ 内でω孤立とはなりえない。
• 追加の条件 $ (\ast) $ が満たされれば、$ \{x \in \mathbf{S}_\mathbf{X} \mid J(x) \cap \mathcal{NG} \neq \emptyset \} $ が $ \mathbf{S}_\mathbf{X} $ で稠密であることが保証され、その結果 $ \omega\text{-exp}(\mathbf{B}_\mathbf{X}) $ は $ \mathbf{S}_\mathbf{X} $ で稠密である。
• $ \mathbf{X} $ が可分であれば、$ \mathbf{S}_\mathbf{X} $ 内のG滑らか点の集合は $ G_\delta $ 稠密であり、またビショップ＝フレルプの定理により、ノルムを達成する汎関数の集合は $ \mathbf{S}_{\mathbf{X}^*} $ で稠密である。
• 弱完備な空間 $ \mathbf{X} $ に対して、ω露呈点は強く露呈点と一致し、双対写像は弱収束下での位相的構造を保存する。
• $ \mathbf{S}_{\mathbf{X}^*} $ 内に、G滑らかノルム達成汎関数の集合と交わらない非空の相対的開部分集合が存在すると、その集合がコメージャーかつ稠密である場合に矛盾が生じる。これにより、G滑らかω露呈点が孤立しないことが証明される。