[論文レビュー] On weakly turbulent instability of AdS

Piotr Bizoń, Andrzej Rostworowski|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、負の宇宙定数を伴う3+1次元の自己重力的かつ球対称な質量ゼロスカラー場の数値シミュレーションを用いて、反ド・ジッター（AdS）時空が微小摂動に対して安定であるかを調査する。結果は弱い湍流不安定性を示し、時間の経過とともにエネルギーが高周波数モードへ移行することを示唆しており、境界条件が保存的であるにもかかわらず、AdS時空は一般の微小摂動に対して不安定である可能性を示している。

ABSTRACT

Introduction. The past decade has witnessed growing interest in spacetimes which asymptotically approach antide Sitter spacetime (AdS) which is the unique maximally symmetric solution of the vacuum Einstein equations with negative cosmological constant. Despite this flurry of activity, motivated mainly by the AdS/CFT duality conjecture, the very basic question ”Is AdS stable?” [1] has been rarely raised (cf. [2] for a notable exception), let alone answered. This is in stark contrast to two other maximally symmetric solutions of the vacuum Einstein equations – Minkowski spacetime (with zero cosmological constant) and de Sitter spacetime (with positive cosmological constant) – which are known to be stable under small perturbations [3, 4]. The key feature of asymptotically AdS spacetimes, distinguishing them from asymptotically flat or dS spacetimes, is the presence of a timelike boundary at (spatial and null) infinity where suitable boundary conditions need to be prescribed in order to make the evolution well-defined [5]. For no-flux boundary conditions one gets a Hamiltonian conservative system on an effectively bounded domain [6] from which energy cannot escape (as for waves propagating inside a perfect cavity), hence asymptotic stability of AdS spacetime is precluded while the question of its stability, as we will see below, touches upon the KAM theory for partial differential equations. Model. In this paper we report on numerical simulations which shed some new light on the problem of stability of AdS spacetime. As a simple model of asymptotically AdS dynamics we consider a self-gravitating spherically symmetric real massless scalar field in 3 + 1 dimensions whose evolution is governed by the Einstein-scalar system with negative cosmological constant � < 0

研究の動機と目的

• AdS/CFT双対性の重要性にもかかわらず、長らく無視されてきた、反ド・ジッター（AdS）時空が微小摂動に対して長期的に安定であるかを調査すること。
• ミンコフスキー時空およびド・ジッター時空の安定性が既知であるのに対し、AdS時空が一般の微小摂動に対して安定であるかという根本的な未解決問題に取り組むこと。
• エネルギーが流出しない境界条件を満たす有限で有界な領域におけるエネルギーの振る舞いを調査し、AdS時空をエネルギーが逃げない保存的系としてモデル化すること。
• KAM理論が偏微分方程式の文脈においてAdS不安定性と関連して、弱い湍流およびモード混合にどのように関係するかを検討すること。
• 負の宇宙定数を伴うアインシュタイン-スカラー系を対象として、漸近的にAdS的である時空の簡略化モデルにおいて、不安定性の数値的証拠を提供すること。

提案手法

• 負の宇宙定数を伴う3+1次元のアインシュタイン-スカラー系を数値的にシミュレートし、自己重力的かつ球対称な実スカラー場をモデル化する。
• 空間無限遠でフラックスなし境界条件を適用し、エネルギーを有界領域内に閉じ込めることで、完璧なキャビティに類似した状態を再現する。
• 時間発展は、結合されたアインシュタイン方程式とスカラー波動方程式に従い、負の宇宙定数がAdS的漸近的性質を保証する。
• 時間経過に伴うモード間のエネルギー移動をモニタリングし、高周波数モードへの段階的励起が示される弱い湍流の兆候を検出する。
• スカラー場および計量摂動のソボレフノルムの増大を追跡することで、エネルギーのキャスケードおよび不安定性の発展を定量的に評価する。
• 解析は主に解の長期的挙動に焦点を当て、初期の微小摂動が有限時間での爆発を引き起こすか、あるいは持続的なエネルギー再分配を生じるかを検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界条件が保存的であるにもかかわらず、反ド・ジッター時空は一般の微小摂動に対して安定であるか？
• RQ2 自己重力的スカラー場系において、AdS時空内でのエネルギーが時間の経過とともに高周波数モードへキャスケードするか？ これは弱い湍流の兆候である。
• RQ3 負の宇宙定数および無限遠における時空的境界が、摂動の長期的発展にどの程度影響を及ぼすか？
• RQ4 本モデルで観測された不安定性は、有界領域におけるハミルトニアンPDEのKAM型安定性の失敗と関連しているか？
• RQ5 この系は有限時間での爆発を示すか、それとも長期的なエネルギー再分配を示すか？ これはAdS内での解のグローバル存在性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 数値的シミュレーションにより、AdS上でのアインシュタイン-スカラー系における初期微小摂動が、時間の経過とともに高周波数モードへエネルギーが段階的に移行することが示された。
• 系は弱い湍流的挙動を示し、スカラー場のソボレフノルムが時間とともに増大しており、エネルギー漏れがないにもかかわらず不安定性が顕在化していることを示している。
• エネルギーは低周波数モードに局在化せず、高周波数へキャスケードする傾向があり、ハミルトニアン系における弱い湍流の発生と整合的である。
• 長時間にわたるシミュレーションでも不安定性が持続しており、AdS時空が一般の微小摂動に対して漸近的安定でないことが示唆される。
• 結果は、AdS時空が不安定であるという予想を支持しており、境界条件が保存的であるにもかかわらず、その安定性が期待できないことを挑戦する。
• これらの発見は、KAM理論がPDEに適用できない可能性を示唆しており、系が準周期的運動を維持できず、代わりにモード間でエネルギーが移動していることから、その適用が不成立である可能性がある。