[論文レビュー] On well-posedness of time-harmonic problems in an unbounded strip for a thin plate model

Laurent Bourgeois, Lucas Chesnel+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、キルヒホッフ＝ローヴ方程式でモデル化された無限にのびる薄板波ガイドにおける定常状態の弾性波散乱の適切な定式化を、モード分解によって導出された放射境界条件を用いて確立する。単純支持された帯状領域に対しては、ヒルベルト基底法を用いてモード分解とディリクレ＝ノイマン還元が可能である。固定端の帯状領域に対しては、重み付きソボレフ空間とフーリエ変換を用いたコンドラチェフの方法により、フレドホルム的適切性と物理的解の選択が、限界吸収原理によって保証される。

ABSTRACT

We study the propagation of elastic waves in the time-harmonic regime in a waveguide which is unbounded in one direction and bounded in the two other (transverse) directions. We assume that the waveguide is thin in one of these transverse directions, which leads us to consider a Kirchhoff-Love plate model in a locally perturbed 2D strip. For time harmonic scattering problems in unbounded domains, well-posedness does not hold in a classical setting and it is necessary to prescribe the behaviour of the solution at infinity. This is challenging for the model that we consider and constitutes our main contribution. Two types of boundary conditions are considered: either the strip is simply supported or the strip is clamped. The two boundary conditions are treated with two different methods. For the simply supported problem, the analysis is based on a result of Hilbert basis in the transverse section. For the clamped problem, this property does not hold. Instead we adopt the Kondratiev's approach, based on the use of the Fourier transform in the unbounded direction, together with techniques of weighted Sobolev spaces with detached asymptotics. After introducing radiation conditions, the corresponding scattering problems are shown to be well-posed in the Fredholm sense. We also show that the solutions are the physical (outgoing) solutions in the sense of the limiting absorption principle.

研究の動機と目的

• 無限2次元帯状領域における薄板キルヒホッフ＝ローヴモデルの時間調和的弾性波問題の適切性を確立すること。
• 文献において、このような問題に対する厳密な存在性および一意性解析が不足していることに対処すること。
• 単純支持および固定端境界条件の両方に対して、無限遠における適切な放射境界条件を定義すること。
• 散乱問題の解が限界吸収原理を満たし、物理的（放射的）な挙動を示すことを示すこと。
• 数値近似のための枠組みを提供し、より複雑な波ガイド幾何構造への拡張を可能とすること。

提案手法

• 単純支持帯状領域に対しては、横方向作用素の固有関数のヒルベルト基底性を用いてモード分解を実行する。
• モード分解から得られる放射モードを用いて放射境界条件を構築する。
• ディリクレ＝ノイマン作用素を導入し、散乱問題を有界領域への還元を行う。
• 固定端帯状領域に対しては、非有界方向におけるフーリエ変換と、分離漸近挙動を伴う重み付きソボレフ空間を用いたコンドラチェフの方法を適用する。
• 留数定理と記号のスペクトル解析を用いて、放射的解を特徴付ける。
• 限界吸収原理を用いて、減衰が消える極限における解の極限として物理的解を選択する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純支持境界条件を有する無限帯状領域における時間調和的キルヒホッフ＝ローヴ板問題の適切性は、どのように確立できるか？
• RQ2 ヒルベルト基底性が成立しない固定端板の場合、放射境界条件をどのように厳密に定義できるか？
• RQ3 散乱問題の解は限界吸収原理を満たすか。これにより物理的（放射的）解が保証されるか？
• RQ4 フレドホルム理論を用いて、可算個の周波数を除き、存在性および一意性が保証されるか？
• RQ5 波数および幾何形状は、局在モードの存在可能性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 単純支持キルヒホッフ＝ローヴ板の無限帯状領域における散乱問題は、モード分解を用いた放射境界条件によりフレドホルム的意味で適切に定式化される。
• 固定端の場合、フーリエ変換と分離漸近挙動を伴う重み付きソボレフ空間を用いたコンドラチェフの方法により、適切性が確立される。
• 限界吸収原理により、減衰が消える極限における解の極限として物理的解が選ばれ、放射波挙動が確認される。
• 固有値 $ i\tilde{\nu}_p^\nu $ は $ \nu \to 0^+ $ のとき $ i\nu_p $ に収束し、$ x \to \pm\infty $ における放射モードが $ w_p^+ $ および $ w_p^- $ であることが確認される。
• 局在モードが存在する可算個の周波数を除き、解は一意である。これはフレドホルム理論と整合的である。
• 本解析は、完全整合層法やディリクレ＝ノイマン技術を用いた数値手法の基盤を提供する。