[論文レビュー] On what I do not understand (and have something to say): Part I

Saharon Shelah|ArXiv.org|Jun 16, 1999

Advanced Topology and Set Theory参考文献 124被引用数 55

ひとこと要約

この論文は、集合論における深い問題、特に基数算術、pcf理論、反復強制法について、個人的で標準的でない探求を提示している。シャラは、pp(ℵω) < ℵω₁ の整合性を検討し、連続体問題と関連づけ、強制法技術の限界を検討する。特に、連続体が大きく、特定の構造的性質を保存するモデルを構成する際の限界に焦点を当てる。

ABSTRACT

This is a non-standard paper, containing some problems in set theory I have in various degrees been interested in. Sometimes with a discussion on what I have to say; sometimes, of what makes them interesting to me, sometimes the problems are presented with a discussion of how I have tried to solve them, and sometimes with failed tries, anecdote and opinion. So the discussion is quite personal, in other words, egocentric and somewhat accidental. As we discuss many problems, history and side references are erratic, usually kept at a minimum (``see ... '' means: see the references there and possibly the paper itself). The base were lectures in Rutgers Fall'97 and reflect my knowledge then. The other half, concentrating on model theory, will subsequently appear.

研究の動機と目的

• pp(ℵω) < ℵω₁ の不等式の整合性を調査すること。これはpcf理論と基数算術における中心的問題である。
• 反復強制法が、連続体が大きく、望ましい集合論的性質を保存するモデルを構成する際に、その限界と可能性を探ること。
• 定義可能強制ノーションの役割と、ブール代数や組合せ的構造との相互作用を検討すること。
• pcf理論、被覆数、位相的性質（特に位相空間における多くの開集合の存在）との関係を分析すること。
• 強制法と大基数の文脈において、cf(ℵ₁) から cf(ℵ₀) への一般化の境界を評価すること。

提案手法

• 強制法の下での超限積の共終型を分析するため、pcf理論を用い、pp(μ) を適切なイデアル I に関する tcf(∏a/I) の上界として定義する。
• 特に、cf(ω) を有する特異基数 κ に対して 2κ ≥ λ となるようなモデルを構成するために、反復強制法の構成を適用する。
• ブール代数とその c.c.c. 性質を用いて、位相空間における開集合の数に関する帰結を導出する。
• Hales-Jewett型や van der Waerden 型の組合せ的分割関係を導入し、強制法下での構造の成長を分析する。
• 強制法の「よい定義可能性」、および nep（ほぼ最終的に適切な）強制法の概念を用いて、反復における性質の保存を制御する。
• 特に、基数に有界部分集合を追加しない強制法の性質を、ハイパーメジャブル基数やマーロ基数の文脈で分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZFCにおいて pp(ℵω) < ℵω₁ は整合的か？ これは連続体の構造にどのような意味を持つのか？
• RQ2 反復強制法を用いて、cf(ω) を有する特異基数 κ に対して 2κ ≥ λ となるモデルを構成できるか？ その際、κ に有界部分集合を追加しないか？
• RQ3 強制法とpcf理論の文脈において、cf(ℵ₁) から cf(ℵ₀) への結果の一般化の限界は何か？
• RQ4 定義可能な強制法ノーションは、ブール代数や位相空間において、鎖条件や基数不変量の保存にどのように作用するか？
• RQ5 Bⁿₖ のような構造のラマヌジャン的性質が、強制拡張における組合せ的配置の成長をどの程度制限できるか？

主な発見

• ℵω が強い極限基数であると仮定すれば、古典的な基数算術の恒等式により、pp(ℵω) < ℵω₁ は 2ℵω < ℵω₁ と同値である。
• ギティクが発見した（シェラフによって確認された）強制法構成により、cf(ω) を有する特異基数 κ に対して 2κ ≥ λ を達成でき、κ より下の GCH を保存し、κ に有界部分集合を追加しない。
• この構成は、高次のハイパーメジャブル基数を用い、pp(κ) ≥ λ を得る。これは、cf(ℵ₁) に対して成り立つある定理が cf(ℵ₀) に一般化されないことを示している。
• 構造 Bⁿₖ の要素数は急速に増加するが、それが n の固定された反復指数関数として増加するか否かは未解決の問題のままである。
• cf(ℵ₀) を有する強い極限基数 μ を満たす μ に対して、|B| ≤ 2μ かつ B が c.c.c. であるようなブール代数 B が存在するならば、B は μ-連結である。これはpcf理論的被覆原理から導かれる結果である。
• 位相空間 X が λ 個の点を持ち、λ より多くの開集合を持つとき、μ が cf(ℵ₀) を有する強い極限基数であれば、X は少なくとも 2μ 個の開集合を持つ必要がある。これは位相空間論とpcf理論との間のリンクを示している。