[論文レビュー] On Wick Power Series Convergent to Nonlocal Fields

A. G. Smirnov, M. A. Soloviev|ArXiv.org|Apr 4, 2001

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般化自由場の無限Wick級数によって定義される非局所な量子場の漸近的可換性を、x空間における真空期待値の解析的性質とCauchy–Poincaré定理を用いて確立する。収束は解析的試験関数に対して証明され、Borchersの同値類の概念を拡張し、Wick多項式の相対的局所性を非局所場へ一般化する。

ABSTRACT

The infinite series in Wick powers of a generalized free field are considered that are convergent under smearing with analytic test functions and realize a nonlocal extension of the Borchers equivalence classes. The nonlocal fields to which they converge are proved to be asymptotically commuting, which serves as a natural generalization of the relative locality of the Wick polynomials. The proposed proof is based on exploiting the analytic properties of the vacuum expectation values in x-space and applying the Cauchy--Poincare theorem.

研究の動機と目的

• 一般化自由場の無限Wick級数を用いて、局所場のBorchersの同値類を非局所場へ拡張すること。
• 特に不確定計量および質量零場の文脈において、解析的試験関数によるスメアリング下でのそのような級数の収束を確立すること。
• 極限として得られる非局所場が、Wick多項式の相対的局所性を一般化する形で漸近的に可換であることの証明。
• x空間における真空期待値の解析性に基づく手法の開発。これは解析的領域が空であっても適用可能である。
• 弦理論／M理論およびAdS/CFTの文脈を含む、UV特異性を示すゲージ理論やモデルにおける非局所量子場の分析のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 時空を複素化し、二点関数 $\mathbf{w}(z)$ の解析接続を用い、$\tau$ に関する成長の指標関数 $u(\tau)$ を導入する。
• Bargmann–Hall–Wightman定理を適用して、複素ローレンツ変換下での拡張解析的領域 $\mathbb{T}^{\text{ext}}$ を定義する。
• Cauchy–Poincaré定理を用いて、異なる正則化パrameter $\tau$ に対する関数的拡張の一貫性を保証する。
• 一般化されたGelfand–Shilov空間 $\mathcal{E}^\beta$ および $S^{1,B}$ における試験関数の減衰性を用いて、境界面上の積分を推定する。
• 指標関数 $\beta$ の凸性および成長評価を用いて指数関数的項を制御し、絶対収束を保証する。
• 関数 $u(\tau)$ の単調性および球面上の積分推定を用いて、差分関数 $\mathbf{b}_{V_{n-}}\mathbf{W}^K - \mathbf{b}_{\tau_j V_{n-}}\mathbf{W}^K$ の上界を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真空期待値の解析的領域が空であっても、一般化自由場の無限Wick級数が解析的試験関数に対して収束し、非局所場を定義できるか？
• RQ2 厳密な局所性が成り立たない状況下で、極限の非局所場が一般化された局所性、例えば漸近的可換性を満たすか？
• RQ3 運動量空間の推定に代えて、x空間における真空行列要素の解析的性質を用いて、そのような級数の収束を厳密に確立できるか？
• RQ4 標準的な正定性に基づく手法が失敗する不確定計量を有する質量零場や理論へ、この手法がどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 この枠組みは、UV有限性およびCPT不変性の文脈において、弦理論、M理論、AdS/CFTにおける非局所モデルへ応用可能か？

主な発見

• 解析的試験関数が $\mathcal{E}^\beta$ および $S^1$ 空間に属する場合、級数 $\sum_{k=0}^\infty d_k :\!\phi^k\!:\!(x)$ は適切に定義された非局所場に収束する。
• 極限として得られる非局所場は漸近的に可換であり、これはWick多項式の相対的局所性を一般化し、CPT不変性およびスピン統計定理と整合する。
• 係数級数 $\sum_K L^{|K|} |D_K| < \infty$ がすべての $L > 0$ に対して成り立つ限り、収束が保証される。これは、補題4および定理1から導かれる条件 $\sum_K L^{|K|} |D_K| < \infty$ と一致する。
• 指標関数 $u(\tau)$ は、$\text{Re}\,z = 0$, $\text{Im}\,z = (-\tau, 0, \dots, 0)$ 上での $|\mathbf{w}(z)|$ の上界として定義され、$\mathbf{w}(z)$ の成長に対する最良の上界を提供する。この関数は無限回微分可能かつ厳密に増加である。
• この手法は任意次元 $d$ における一般化自由場、特に質量零場の場合にも適用可能であり、条件 $\int_1^\infty \frac{\beta(s)}{s^2} ds < \infty$ を満たさない擬解析的試験関数クラスに対しても拡張可能である。
• $\mathcal{E}^\beta$ および $S^1$ への関数的拡張は、異なる正則化パrameter $\tau$ の間で一貫しており、級数の連続的拡張が一意に存在することを保証する。