[論文レビュー] On Winning Conditions of High Borel Complexity in Pushdown Games

Olivier Finkel|ArXiv.org|Mar 12, 2008

semigroups and automata theory参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、プッシュダウンゲームにおける高レベルのボレル複雑性を有する勝利条件を調査し、プレイヤーの勝利位置の集合が非決定的で、非明示的で、本質的に曖昧である、あるいはすら文脈自由でないω言語である可能性があることを示している。本稿は、そのような勝利集合が決定的文脈自由言語に制限されないことを証明することで、未解決の問題を解決し、ω言語の階層内におけるその正確な表現力の範囲を特定した。

ABSTRACT

Some decidable winning conditions of arbitrarily high finite Borel complexity for games on finite graphs or on pushdown graphs have been recently presented by O. Serre in [ Games with Winning Conditions of High Borel Complexity, in the Proceedings of the International Conference ICALP 2004, LNCS, Volume 3142, p. 1150-1162 ]. We answer in this paper several questions which were raised by Serre in the above cited paper. We first show that, for every positive integer n, the class C_n(A), which arises in the definition of decidable winning conditions, is included in the class of non-ambiguous context free omega languages, and that it is neither closed under union nor under intersection. We prove also that there exists pushdown games, equipped with such decidable winning conditions, where the winning sets are not deterministic context free languages, giving examples of winning sets which are non-deterministic non-ambiguous context free languages, inherently ambiguous context free languages, or even non context free languages.

研究の動機と目的

• セール（2005年）が提起した、プッシュダウンゲームにおける勝利条件の表現力に関する未解決問題を解決すること。
• クラス $\mathbb{C}_n(A)$ および $\mathbb{C}_n^\lambda(A)$ を分析し、それらが非明示的文脈自由ω言語およびその補集合から成ることを示すこと。
• プッシュダウンゲームにおける勝利集合が、決定的文脈自由言語のクラスを超える可能性があるかどうかを特定すること。
• $\mathbb{C}_n(A)$ の和集合および積集合に関する閉包性質を調査すること。
• エイヴの勝利集合が決定的文脈自由言語でない具体的なプッシュダウンゲームの例を構築すること。

提案手法

• スタックの無限性と受理条件を備えた決定的プッシュダウンオートマトンを用いて、クラス $\mathbb{C}_n(A)$ を定義する。これは、言語 $L(\mathcal{A}_1 \rhd \cdots \rhd \mathcal{A}_n \rhd \mathcal{A}_{n+1})$ の集合として定義される。
• スタックの限界言語の構造を用いて、$\mathbb{C}_n(A)$ に属する言語が非明示的文脈自由ω言語であることを証明する。
• 補集合を分析するためのより大きなクラス $\mathbb{C}_n^\lambda(A)$ を導入し、それが非明示的文脈自由言語であることを示す。
• 具体的なプッシュダウンゲームを構築し、勝利条件 $\Omega_{\mathcal{A}_1 \rhd \mathcal{A}_2}$ を用いて、勝利集合が本質的に曖昧であるか、あるいは文脈自由でない可能性があることを示す。
• 文脈自由言語のポンプ補題を用いて、$\{a^n b^n c^n \mid n \geq 1\}$ が文脈自由でないことを証明し、これにより勝利集合の非文脈自由性を示す。
• スタックの無限性と極限受理条件を用いて、エイヴの勝利位置が複数の無限プレイに依存するプッシュダウンゲームの状態を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高レベルのボレル複雑性を有するプッシュダウンゲームにおける勝利位置の集合は、決定的文脈自由言語に制限されるか？
• RQ2 $\mathbb{C}_n(A)$ およびその補集合は、非明示的文脈自由ω言語として特徴付けられるか？
• RQ3 $\mathbb{C}_n(A)$ は和集合および積集合に関して閉じているか？
• RQ4 プッシュダウンゲームにおける勝利集合は、本質的に曖昧であるか、あるいは文脈自由でない可能性があるか？
• RQ5 言語クラス $\Omega_{\mathcal{A}_1 \rhd \cdots \rhd \mathcal{A}_{n+1}}$ の勝利条件の表現力は、ω言語クラスの観点からどのように特定されるか？

主な発見

• $\mathbb{C}_n(A)$ のクラスは、非明示的文脈自由ω言語のクラスに含まれる。
• $\mathbb{C}_n(A)$ に属する言語の補集合も、非明示的文脈自由ω言語である。これはより大きなクラス $\mathbb{C}_n^\lambda(A)$ を用いて示された。
• $\mathbb{C}_n(A)$ のクラスは、和集合に対しても、積集合に対しても閉じていない。
• エイヴの勝利集合が本質的に曖昧な文脈自由言語であるプッシュダウンゲームが存在する。具体的には、$\{a^n b^m c^p \mid n,m,p \geq 1 \text{ かつ } (n=m \text{ または } m=p)\}$ である。
• エイヴの勝利集合が文脈自由でない言語であるプッシュダウンゲームが存在する。例として $\{a^n b^n c^n \mid n \geq 1\}$ が挙げられ、これは閉包性質とポンプ補題を用いて証明された。
• 本稿は、プッシュダウンゲームにおける勝利集合が非決定的で、非明示的で、本質的に曖昧である、あるいは文脈自由でない可能性があることを確認した。従って、その表現力は決定的文脈自由言語のクラスを超過する。