[論文レビュー] On Witt vector cohomology for singular varieties

Pierre Berthelot, Spencer Bloch+1 more|ArXiv.org|Oct 17, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正の特性の完全体上に存在する分離的で有限型のスキームに対して、コンパクトな台を持つウィットベクターコホロロジーを構成し、コンパクトな台を持つ剛体コホロロジーの斜度 <1 部分とこのウィットコホロロジーとの間に自然な同型写像を確立する。主な結果として、剛体コホロロジーの斜度 <1 部分が有理ウィットコホロロジーと同一視されることを示し、有限体上の多様体の有理点の数に関する新しい合同式を導く。これには、セールのトータル・ディーローに関する予想の証明が含まれる。

ABSTRACT

Over a perfect field $k$ of characteristic $p &gt; 0$, we construct a ``Witt vector cohomology with compact supports'' for separated $k$-schemes of finite type, extending (after tensorisation with $\mathbb{Q}$) the classical theory for proper $k$-schemes. We define a canonical morphism from rigid cohomology with compact supports to Witt vector cohomology with compact supports, and we prove that it provides an identification between the latter and the slope $&lt; 1$ part of the former. Over a finite field, this allows one to compute congruences for the number of rational points in special examples. In particular, the congruence modulo the cardinality of the finite field of the number of rational points of a theta divisor on an abelian variety does not depend on the choice of the theta divisor. This answers positively a question by J.-P. Serre.

研究の動機と目的

• 特異的多様体に対して、コンパクトな台を持つウィットベクター・コホロロジーを用いてクリスタリン・コホロロジーを拡張すること。
• コンパクトな台を持つ剛体コホロロジーから、コンパクトな台を持つウィットベクター・コホロロジーへの自然な準同型を定義すること。
• この準同型が、剛体コホロロジーの斜度 <1 部分とウィットベクター・コホロロジーとの間に同型を誘導することを証明すること。
• この同型を用いて、有限体上の多様体の有理点の数に関する合同式を導出すること。
• セールの問い、すなわち、体のサイズを法としてのトータル・ディーローの点数の独立性を解消すること。

提案手法

• 構造層のウィットベクターから商層のウィットベクターへの写像の核を用いて、コンパクトな台を持つウィットベクター・コホロロジーを構成する。
• コherentコホロロジーのデリーニュの降下技術を用いて、コンパクト化の選択に依存しないことを示す。
• 開埋め込み $ U o X $ とその補集合 $ V( ilde{I}) $ を用いて、コホロロジー空間を $ H^*(X, W ilde{I}_K) $ で定義し、函子性を証明する。
• 滑らかな $ W $-スキームに含まれる微分形式複体を用いて、コンパクトな台を持つ剛体コホロロジーからコンパクトな台を持つウィットベクター・コホロロジーへの自然な準同型を確立する。
• ウィットコホロロジーのコホロロジー的降下を用いて、斜度 <1 範囲における主要な同型を証明する。
• フロベニウス作用と $ K $-テンソル化を用いて、コホロロジーを剛体コホロロジーの斜度分解に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性の完全体上に存在する特異的で分離的かつ有限型のスキームに対して、コンパクトな台を持つウィットベクター・コホロロジーを定義できるか？
• RQ2 コンパクトな台を持つ剛体コホロロジーの斜度 <1 部分とコンパクトな台を持つウィットベクター・コホロロジーとの間に自然な同型が存在するか？
• RQ3 この同型が、有限体上の有理点の数の新たな合同式を可能にするか？
• RQ4 この同型が、セールの予想、すなわち体のサイズを法としてのトータル・ディーローの点数の独立性を解消できるか？
• RQ5 有限群の作用がコherentコホロロジーに作用するとき、それがウィットコホロロジーに引き上げられる条件は何か？

主な発見

• 任意の分離的 $ k $-スキームで有限型であるものに対して、コンパクトな台を持つ剛体コホロロジーの斜度 <1 部分とコンパクトな台を持つウィットベクター・コホロロジーとの間に自然な同型写像が確立される。
• コンパクトな台を持つウィットベクター・コホロロジーの構成は、コンパクト化の選択に依存せず、デリーニュの結果をウィットベクター設定に一般化する。
• この同型は、剛体コホロロジーにおける斜度 <1 の zeta 関数因子が有理ウィットコホロロジーに同型であることを示し、新たな合同式の導出を可能にする。
• 本稿では、有限体上のアーベル多様体のトータル・ディーローの有理点の数が、トータル・ディーローの選択に依存しないことを証明し、セールの予想を確認する。
• 群 $ G $ が $ H^i({ m ilde{O}}_X) $ に自明に作用する条件下で、スキームの商の有理点の数に関する $ q $ を法とする合同式が導かれるが、$ p $ が $ |G| $ を割る場合には反例が存在する。