[論文レビュー] On wrapping the Kalman filter and estimating with the SO(2) group

Ivan Marković, Josip Ćesić+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2017

Speech and Audio Processing参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、方向性2次元追跡のためのSO(2)リー群上での拡張カルマンフィルタ（EKF）を提案する。角度状態をSO(2)上でモデル化するとともに、角速度や角加速度といったユークリッド変数と組み合わせる。数学的に根拠のあるSO(2)上でのリー群EKFが、標準的なEKFにおける角度のヒューリスティックなラッピングと同一の結果をもたらすことを示し、SO(2)およびSO(2)×ℝ²システムにおけるアプローチの妥当性を検証する。実世界のスピーカー追跡実験により、モーションキャプチャの真値を用いてその正確性が確認された。

ABSTRACT

This paper analyzes directional tracking in 2D with the extended Kalman filter on Lie groups (LG-EKF). The study stems from the problem of tracking objects moving in 2D Euclidean space, with the observer measuring direction only, thus rendering the measurement space and object position on the circle---a non-Euclidean geometry. The problem is further inconvenienced if we need to include higher-order dynamics in the state space, like angular velocity which is a Euclidean variables. The LG-EKF offers a solution to this issue by modeling the state space as a Lie group or combination thereof, e.g., SO(2) or its combinations with Rn. In the present paper, we first derive the LG-EKF on SO(2) and subsequently show that this derivation, based on the mathematically grounded framework of filtering on Lie groups, yields the same result as heuristically wrapping the angular variable within the EKF framework. This result applies only to the SO(2) and SO(2)xRn LG-EKFs and is not intended to be extended to other Lie groups or combinations thereof. In the end, we showcase the SO(2)xR2 LG-EKF, as an example of a constant angular acceleration model, on the problem of speaker tracking with a microphone array for which real-world experiments are conducted and accuracy is evaluated with ground truth data obtained by a motion capture system.

研究の動機と目的

• 2次元で移動する物体を、非ユークリッド的である円周上に位置する方向測定値のみを用いて追跡する課題に対処すること。これは、角速度や角加速度といった高次元の運動モデルを組み込むことを含む。
• ヒューリスティックな修正を加えずに、角変数の非ユークリッド的幾何構造を自然に扱えるリー群上での数学的に根拠のあるフィルタリングフレームワークを構築すること。
• SO(2)上でのリー群EKFが、ヒューリスティックに角度をラップするEKFと同一の結果をもたらすことを示し、この特定の状況下での後者のアプローチに対する理論的妥当性を裏付けること。
• SO(2)×ℝ²リー群EKFを、マイクアレイとモーションキャプチャの真値を用いた実世界のスピーカー追跡問題に適用すること。

提案手法

• 状態空間をSO(2)×ℝ²としてモデル化し、SO(2)は方位角を、ℝ²は角速度と角加速度を表す。これにより、非ユークリッド的およびユークリッド的変数を併せ持つハイブリッド状態空間を実現する。
• 行列リー群上のフィルタリング形式を用いて、SO(2)上での拡張カルマンフィルタを導出する。状態および誤差の伝播に指数写像と対数写像を用いる。
• リー群EKFフレームワークを用いて、接空間上での系関数および測定関数のアドジョイント表現とヤコビアンを用いて、状態予測と補正ステップを計算する。
• 状態遷移を行列指数を用いて伝播させ、遷移行列がEKFフレームワーク内での古典的な定加速度モデルと一致することを確認する。
• 実世界のマイクアレイ測定値における外れ値の影響を軽減するために、イノベーションベクトルに対するカイ二乗検定を用いた検証ゲーティングを実装する。
• 方向計測を抽出するためにビームフォーミングアルゴリズムを用い、性能評価のための真値をモーションキャプチャシステムから取得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数学的に根拠のあるSO(2)上でのリー群EKFは、角度状態推定において、ヒューリスティックにラップされたEKFと同一の結果をもたらすか？
• RQ2 SO(2)×ℝ²リー群EKFは、非ユークリッド的およびユークリッド的状態変数を併せ持つ状況下で、定加速度といった高次元の運動モデル（例：定角加速度）を効果的にモデル化できるか？
• RQ3 ノイズが多く外れ値を含む実世界の測定条件下で、リー群EKFの性能は標準的なEKFアプローチと比べてどのように異なるか？
• RQ4 リー群EKFとラップされたEKFの間の同等性は、SO(2)を超えて一般化可能か、それともSO(2)のアーベル性に特化したものか？

主な発見

• リー群フレームワークを用いたSO(2)上での拡張カルマンフィルタの導出は、ヒューリスティックにラップするEKFと同一の結果をもたらし、SO(2)システムにおける後者のアプローチの妥当性を検証した。
• SO(2)×ℝ²リー群EKFは、定角加速度運動モデルを効果的にモデル化でき、状態遷移行列が古典的なEKF形式と一致した。
• 実世界の屋内環境において、移動するスピーカーの追跡が高精度で達成された。図中に、方位角および角速度の状態RMSE値が報告された。
• カイ二乗検定を用いた検証ゲーティングにより、ビームフォーミング出力における測定外れ値の影響が効果的に軽減された。
• 実世界の実験により、リー群EKFが角変数の幾何構造を内蔵的に処理でき、角度をユークリッド変数として扱う単純なEKFアプローチを上回ることが確認された。