[論文レビュー] On $X$-coordinates of Pell equations which are repdigits

Bernadette Faye, Florian Luca|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意の固定された基数 $ b \geq 2 $ に対して、ペル方程式 $ X^2 - dY^2 = 1 $ が、基数 $ b $ の反復数（repdigit）である $ X $-座標をもつ2つの異なる正の整数解を持つような、平方でない正の整数 $ d $ は有限個であることを証明している。対数の線形形式に関する評価と楕円曲線の手法を用いて、著者たちは明示的な上界 $ d \leq \exp\left((10b)^{10^{5}}\right) $ を確立し、各 $ b $ に対してこのような $ d $ が有効的に有限個であり、計算可能であることを示している。この結果は、一般の基数 $ b $ の桁制約を満たす反復数解に関する先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

Let $b\ge 2$ be a given integer. In this paper, we show that there only finitely many positive integers $d$ which are not squares, such that the Pell equation $X^2-dY^2=1$ has two positive integer solutions $(X,Y)$ with the property that their $X$-coordinates are base $b$-repdigits. Recall that a base $b$-repdigit is a positive integer all whose digits have the same value when written in base $b$. We also give an upper bound on the largest such $d$ in terms of $b$.

研究の動機と目的

• ペル方程式 $ X^2 - dY^2 = 1 $ が、基数 $ b $ の反復数である $ X $-座標をもつ2つの異なる正の整数解を持つことがあるかどうかを特定すること。
• （例：基数10における反復数解の研究を含む）先行研究を、任意の基数 $ b \geq 2 $ に拡張し、このような $ d $ の有限性を証明すること。
• 解析的・代数的整数論の道具を用いて、$ b $ のみに依存する明示的な上界を、最大のこのような $ d $ に対して確立すること。
• 特に、偶数番目と奇数番目の解のケースを別々に分析することで、$ X_n $ が基数 $ b $ の反復数である場合の解の構造を解明すること。

提案手法

• 偶数 $ n $ の場合、恒等式 $ X_{2n_1} = 2X_{n_1}^2 - 1 $ を用いて問題を楕円曲線上の整数点に還元し、Bakerの最大解の高さに関する有効的評価を適用する。
• 奇数 $ n $ の場合、複素対数および $ p $-進対数の線形形式に対する下界、特に Matveev の定理を用いて $ n $, $ m $, $ d $ の有効的評価を導出する。
• 代数的数の $ p $-進付値および対数的高さに関する推定を適用し、$ b $ の観点から解の大きさを制御する。
• 恒等式 $ X_n = \frac{1}{2} \left( \alpha^n + \alpha^{-n} \right) $（ここで $ \alpha = X_1 + \sqrt{d}Y_1 $）を用いて、$ X_n $ を基本単数の累乗と関連付ける。
• $ p $-進および対数的推定から導かれる不等式 $ m < 2 \times 10^{17} b^6 \log n $ を用いて、基数 $ b $ の反復数の桁数 $ m $ を評価する。
• $ n $, $ m $, および $ \ell $（基本解の周期）の評価を組み合わせ、$ d < \exp(10^{20} b^{10}) $ を示し、これにより定理1.1における最終的な上界が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された基数 $ b \geq 2 $ に対して、ペル方程式 $ X^2 - dY^2 = 1 $ が、基数 $ b $ の反復数である $ X $-座標をもつ2つの異なる正の整数解を持つような、平方でない $ d $ はいくつ存在しうるか？
• RQ2 このような重複度が生じる最大の $ d $ に対して、$ b $ のみに依存する有効的上界を確立できるか？
• RQ3 $ X_n $ が基数 $ b $ の反復数である場合に生じる構造的制約は何か、特に解列の偶数番目と奇数番目のケースにおいて。
• RQ4 基本単数 $ \alpha = X_1 + \sqrt{d}Y_1 $ 及びその累乗の性質は、基数 $ b $ における $ X_n $ の桁構造をどのように制約するか？
• RQ5 文献[6]の手法が基数 $ b $ の反復数にどの程度まで拡張可能か、一般の場合にはどのような新しい道具が必要となるか？

主な発見

• 任意の固定された $ b \geq 2 $ に対して、ペル方程式 $ X^2 - dY^2 = 1 $ が、基数 $ b $ の反復数である $ X $-座標をもつ2つの異なる正の整数解を持つような、平方でない $ d $ は有限個である。
• 明示的な上界が確立された：$ d \leq \exp\left((10b)^{10^{5}}\right) $ であり、これは有効的で $ b $ のみに依存する。
• 基数 $ b $ の反復数の桁数 $ m $ は $ m < 10^{20} b^7 $ を満たし、解のインデックス $ n $ は $ n < 10^{18} b^4 $ を満たす。
• 偶数 $ n $ の場合、解析は楕円曲線上の整数点に還元され、そのような点の高さに関する Baker の評価が解の大きさを制御するために用いられる。
• 奇数 $ n $ の場合、証明は基本単数 $ \alpha $ に適用された Matveev の線形形式の下界に依存し、$ n $ および $ m $ の有効的評価が得られる。
• 最終的な $ d $ の上界は $ d < b^{2m} $ から導かれるが、$ m < 10^{20} b^7 $ より $ d < \exp(10^{20} b^{10}) $ が得られ、これは証明における漸近的単純化により、提示された $ (10b)^{10^5} $ よりもタイトである。