[論文レビュー] On zero divisors and prime elements of po-semirings

Tongsuo Wu, Dancheng Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2011

Rings, Modules, and Algebras参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界半環におけるゼロ因子と素元の構造を調査し、やや弱い条件下で、非ゼロゼロ因子の集合が $A \setminus \{0,1//$ に等しく、各素元が極大であることを証明する。$Z(A) = A \setminus \{0,1\}$ であるとき、$A$ は要素または主 annihilating 理想に関する ACC を満たすならば、極大元が有限個であることが示され、$|Z(A)| = 1$ または $|Z(A)| = 2$ かつ $Z(A)^2 \neq 0$ を満たす有界半環は、整域的半環を用いて完全に特徴づけられる。

ABSTRACT

A semiring is an algebraic structure similar to a ring, but without the requirement that each element must have an additive inverse. A po-semiring is a semiring equipped with a compatible bounded partial order. In this paper, properties of zero divisors and prime elements of a po-semiring are studied. In particular, it is proved that under some mild assumption the set $Z(A)$ of nonzero zero divisors of $A$ is $A\setminus \{0,1\}$, each prime element of $A$ is a maximal element, and the zero divisor graph $\G(A)$ of $A$ is a finite graph if and only if $A$ is finite. For a po-semiring $A$ with $Z(A)=A\setminus \{0,1\}$, it is proved that $A$ has finitely many maximal elements if ACC holds either for elements of $A$ or for principal annihilating ideals of $A$. As applications of prime elements, it is shown that the structure of a po-semiring $A$ is completely determined by the structure of integral po-semirings if either $|Z(A)|=1$ or $|Z(A)|=2$ and $Z(A)^2 ot=0$. Applications to the ideal structure of commutative rings are considered.

研究の動機と目的

• 有界半環におけるゼロ因子と素元の構造を分析すること。
• 非ゼロゼロ因子の集合が $A \setminus \{0,1\}$ に等しくなる条件を特定すること。
• やや弱い仮定の下で、有界半環における各素元が極大であることの証明。
• 整域的有界半環を用いて、$|Z(A)| = 1$ または $|Z(A)| = 2$ かつ $Z(A)^2 \neq 0$ を満たす有界半環を完全に特徴づけること。
• 有界半環理論を用いて、可換環のイデアル構造への応用を検討すること。

提案手法

• 有界半環のposet構造を用い、局所的半モジュラー性およびチェーン複体のシェルラビリティを利用する。
• 部分順序が $a \leq b \iff a + b = b$ で定義される、$a + a = a$ を満たす dioid としての有界半環の性質を応用する。
• 素元を、$xy \leq p$ ならば $x \leq p$ または $y \leq p$ を満たし、$p \neq 1$ であるという条件を用いて定義・分析する。
• 下部主イデアル $<u> = \{x \in A \mid x \leq u\}$ および annihilating 理想 $\text{ann}_A(u) = \{x \in A \mid xu = 0\}$ の概念を用いる。
• 条件 $(C_3)$：非冪零元 $u$ に対して、$u$ の中で零元でない冪等元 $w$ が存在し、$w$ と直交する冪等元補完が存在する。
• 整域的有界半環 $A_1$ を基底とし、追加の要素 $c, u$ を用いて、$|Z(A)| = 2$ かつ $Z(A)^2 = 0$ を満たす有界半環の明示的モデルを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界半環の非ゼロゼロ因子の集合が $A \setminus \{0,1\}$ に等しくなる条件は何か？
• RQ2 有界半環において、すべての素元が極大になるのはいつか？
• RQ3 $|Z(A)| = 1$ または $|Z(A)| = 2$ かつ $Z(A)^2 \neq 0$ のとき、有界半環の構造はいかなるものか？
• RQ4 $Z(A) = A \setminus \{0,1\}$ のもとで、要素または主 annihilating 理想に関する ACC が、極大元の有限性にどのように影響するか？
• RQ5 可換環のイデアル構造は、有界半環の枠組みを用いて回復または分析可能か？

主な発見

• やや弱い仮定の下で、非ゼロゼロ因子の集合 $Z(A)$ は $A \setminus \{0,1\}$ に等しく、0 と 1 を除くすべての元がゼロ因子であることを示唆する。
• 有界半環における各素元は極大である。これは、素元と 1 の間に真に中間の元が存在しないことを意味する。
• $Z(A) = A \setminus \{0,1\}$ であるとき、要素または主 annihilating 理想に関する ACC が成り立つならば、$A$ は極大元を有限個持つ。
• $|Z(A)| = 1$ または $|Z(A)| = 2$ かつ $Z(A)^2 \neq 0$ を満たす有界半環は、整域的有界半環の構造によって完全に決定される。
• 本稿では、基底となる整域的有界半環 $A_1$ と、追加の要素 $c, u$ を用い、$|Z(A)| = 2$ かつ $Z(A)^2 = 0$ を満たす有界半環の明示的モデルを構成した。加法および乗法の規則は特定のものに従う。
• DCC と条件 $(C_3)$ を満たすとき、有界半環 $A$ は $A_1$ または $\{0,1\}^{(n)} \times A_1$ に同型である。ここで $A_1$ は、すべての最小元 $c$ に対して $c^2 = 0$ を満たし、$A_1$ において DCC が成り立つ。