[論文レビュー] On Zeroes of Random Polynomials and Applications to Unwinding

Stefan Steinerberger, Hau‐Tieng Wu|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素数平面 $ \mathbb{C} $ 上のコン pact な台を持つ連続確率測度 $ \mu $ から独立同分布に抽出された根を持つ確率的多項式 $ p_n(z) $ について、方程式 $ p_n(z) = p_n(0) $ の解の漸近的分布を研究する。$ n \to \infty $ のとき、$ p_n(z) - p_n(0) = 0 $ の根は、測度 $ \nu $ に分布収束する。この $ \nu $ は、対数ポテンシャルが原点における値を上回る集合 $ A $ において $ \mu $ を再現し、ポテンシャルが等しくなる曲線集合 $ B $ に集中する。$ B $ 上の密度は、ポテンシャルの角方向変動によって定まる。

ABSTRACT

Let $μ$ be a probability measure in $\mathbb{C}$ with a continuous and compactly supported density function, let $z_1, \dots, z_n$ be independent random variables, $z_i \sim μ$, and consider the random polynomial $$ p_n(z) = \prod_{k=1}^{n}{(z - z_k)}.$$ We determine the asymptotic distribution of $\left\{z \in \mathbb{C}: p_n(z) = p_n(0) ight\}$. In particular, if $μ$ is radial around the origin, then those solutions are also distributed according to $μ$ as $n ightarrow \infty$. Generally, the distribution of the solutions will reproduce parts of $μ$ and condense another part on curves. We use these insights to study the behavior of the Blaschke unwinding series on random data.

研究の動機と目的

• 複素数平面 $ \mathbb{C} $ 上のコンパクトな台を持つ連続確率測度 $ \mu $ から独立同分布に抽出された根を持つ確率的多項式について、$ p_n(z) = p_n(0) $ の解の極限分布を理解すること。
• 特に $ \mu $ の対数ポテンシャルを用いたポテンシャル論の観点から、これらの解の漸近的挙動を特徴づけること。
• $ \mu $ が回転対称でない場合に、既知の確率的多項式の臨界点に関する結果を、レベル集合 $ p_n(z) = p_n(0) $ の場合に拡張すること。
• 弱収束として得られる根分布の極限測度 $ \nu $ の正確な記述を提供すること。特に、ポテンシャルが原点における値と等しくなる集合 $ B $ 上の構造を含む。

提案手法

• 対数ポテンシャルに基づき、複素平面を分割する集合 $ A = \{ z : \int \log|x-z| d\mu(x) > \int \log|x| d\mu(x) \} $ と $ B = \{ z : \text{等式が成り立つ} \} $ を定義する。
• 対数ポテンシャルに対する大数の法則を用いる：$ n \to \infty $ のとき、$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log|z - z_k| \to \int \log|z - x| d\mu(x) $ が確率的に収束する。
• 発散原理を適用し、$ \{ z : \sum_{k=1}^n \log|z - z_k| = \sum_{k=1}^n \log|z_k| \} $ というレベル集合が、$ \mu $ の台から離れる領域で $ B $ に均一収束することを示す。
• 制限された曲線 $ C \subset B $ に沿って多項式 $ p_n(z) $ の偏角を解析し、$ \arg p_n(z) $ の全 Variation が $ n $ に対して漸近的に線形に増加することを示し、解の均一な分布を導く。
• 陰関数定理を用いて、$ B $ が局所的に $ C^1 $ 曲線であることを示し、密度を $ \frac{1}{2\pi} \left| \frac{\partial}{\partial t} \int \arg(\gamma(t) - z) d\mu(z) \right|^{-1} $ として導出する。ここで $ \gamma $ は $ C $ の弧長パラメータ表示である。
• 二つの単位円（原点と 2 に中心）の合併集合に台を持つ $ \mu $ に対して明示的計算を行い、極限測度 $ \nu $ が $ A $ で $ \mu $ を再現し、$ B $ に四本の新たな曲線に集中することを確認。数値シミュレーションにより予測が正当化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的多項式の根が $ \mathbb{C} $ 上のコンパクトな台を持つ連続測度 $ \mu $ から独立同分布に抽出されるとき、$ n \to \infty $ のとき $ p_n(z) = p_n(0) $ の解の分布はどのように振る舞うか。
• RQ2 解集合が元の測度 $ \mu $ を再現するのはどのような条件下か。一方で、曲線に集中するのはどのような場合か。
• RQ3 対数ポテンシャルが原点における値と等しくなる集合 $ B $ において、極限測度 $ \nu $ の正確な構造は何か。
• RQ4 $ B $ 沿いでのポテンシャルの角方向変動が、制限された曲線上の解の密度にどのように影響するか。
• RQ5 Blaschke のアンワインディング級数は、$ p_n(z) = p_n(0) $ の根の漸近的分布を用いて解析可能か。

主な発見

• $ \mu $ が回転対称の場合、$ p_n(z) = p_n(0) $ の解は $ n \to \infty $ のとき $ \mu $ に分布収束する。つまり、$ p_n(z) - p_n(0) $ の根は元の測度を再現する。
• 一般の非回転対称な $ \mu $ に対しては、極限測度 $ \nu $ は、対数ポテンシャルが原点における値を上回る集合 $ A $ で $ \mu $ に等しくなる。残りの全質量 $ 1 - \mu(A) $ は、レベル集合 $ B $ に集中する。
• 集合 $ B $ 上では、解の密度が $ \frac{1}{2\pi} \left| \frac{\partial}{\partial t} \int \arg(\gamma(t) - z) d\mu(z) \right|^{-1} $ で与えられる。ここで $ \gamma $ は $ B $ の連結成分の弧長パラメータ表示であり、正則性仮定を満たすものとする。
• 数値シミュレーションにより、$ \mu $ が原点と 2 に中心を持つ二つの単位円に台を持つ場合、解は $ A $ で $ \mu $ に従い、$ B $ に四本の曲線に集中することが確認された。原点付近では根がわずかに反発するため、0 のまわりに根のない収縮するバブルが生じる。
• 原点は常に $ p_n(z) - p_n(0) $ の根であり、反発効果により 0 のまわりに根のないバブルが形成されるが、$ n \to \infty $ のときこのバブルは消滅する。
• 期待値としての $ |p_n(0)| $ の対数的成長は $ \frac{1}{2} \log 2 $ であり、対数ポテンシャルがこの値に等しくなる点の集合が、解の極限的台を定義する。