[論文レビュー] On zeta functions composed by the Hurwitz and periodic zeta functions

Takashi Nakamura|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2019

Analytic Number Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、Hurwitzおよび周期的ゼータ関数から構成されるゼータ関数の実零点を調査し、特定のパラメータ条件下で $ Y(s,a) $, $ X(s,a) $, $ Z(s,a) $, $ P(s,a) $ のような組み合わせが負の整数にのみ単一の実零点を持つことを証明している。零点の位置に関する鋭い基準を確立し、漸近的挙動を分析することで、拡張されたセルバーグクラスおよび $ L $-関数の関数方程式に寄与している。

ABSTRACT

In this paper, we show the following; (1) The periodic zeta function ${ m{Li}}_s (e^{2\pi ia})$ with $0<a<1/2$ or $1/2 < a <1$ does not vanish on the real line. (2) All real zeros of $Y(s,a):=\zeta (s,a) - \zeta (s,1-a)$, $O(s,a) := -i { m{Li}}_s (e^{2\pi ia}) + i{ m{Li}}_s (e^{2\pi i(1-a)})$ and $X(s,a) := Y(s,a) + O(s,a)$ with $0 < a < 1/2$ are simple and at only the negative odd integers. (3) All real zeros of $Z(s,a):=\zeta (s,a) + \zeta (s,1-a)$ are simple and on only the non-positive even integers if and only if $1/4 \le a \le 1/2$. (4) All real zeros of $P(s,a):={ m{Li}}_s (e^{2\pi ia}) + { m{Li}}_s (e^{2\pi i(1-a)})$ are simple and on only the negative even integers if and only if $1/4 \le a \le 1/2$. Moreover, the asymptotic behavior of real zeros of $Z(s,a)$ and $P(s,a)$ are studied when $0 < a < 1/4$. We also give some remarks related to the functional equations of the Riemann and Dedekind zeta functions, and the extended Selberg class. Especially, we give $L$-functions can be expanded in a Dirichlet series converges somewhere and fulfill the functional equation that appeared in Hamburger's or Hecke's theorem. Furthermore, we construct $L$-functions in the extended Selberg class of degree 2 whose all real zeros of are at only the non-positive even or odd integers but infinitely many complex zeros are in the half-plane $\sigma >1$ and strips $0 < \sigma <1/2$ and $1/2 < \sigma <1$.

研究の動機と目的

• Hurwitzおよび周期的ゼータ関数からなるゼータ関数の実零点の位置と重複度を特定すること。
• 実零点が負の整数にのみ現れるような、パrameter $ a \in (0,1) $ に対する必要十分条件を確立すること。
• $ 0 < a < 1/4 $ のとき、$ Z(s,a) $ および $ P(s,a) $ の実零点の漸近的挙動を研究すること。
• リーマンおよびデデキンドゼータ関数の関数方程式と、拡張されたセルバーグクラスにおける $ L $-関数の関係を探索すること。
• すべての実零点が非正の偶数または奇数整数にのみ存在し、臨界帯に無限個の非自明な複素零点を持つ、次数2の拡張セルバーグクラスの $ L $-関数を構成すること。

提案手法

• $ 0 < a < 1/2 $ または $ 1/2 < a < 1 $ のときの周期的ゼータ関数 $ \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) $ の分析により、実直線上での零点なしを証明すること。
• $ Y(s,a) = \zeta(s,a) - \zeta(s,1-a) $, $ O(s,a) = -i\text{Li}_s(e^{2\pi i a}) + i\text{Li}_s(e^{2\pi i(1-a)}) $, および $ X(s,a) = Y(s,a) + O(s,a) $ の定義と研究。
• $ Z(s,a) = \zeta(s,a) + \zeta(s,1-a) $ および $ P(s,a) = \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) + \text{Li}_s(e^{2\pi i(1-a)}) $ の調査を行い、零点分布に注目すること。
• Dirichlet級数の性質と関数方程式を用いて、拡張されたセルバーグクラスにおける $ L $-関数を分析すること。
• 指定された実零点と臨界帯における複素零点を持つ、次数2の $ L $-関数の構成； $ \sigma > 1 $, $ 0 < \sigma < 1/2 $, および $ 1/2 < \sigma < 1 $ の領域に零点を有する。
• $ 0 < a < 1/4 $ のときの $ Z(s,a) $ および $ P(s,a) $ の実零点の漸近的分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ a \in (0,1) $ のどの値に対して、関数 $ Y(s,a) $, $ X(s,a) $, $ Z(s,a) $, $ P(s,a) $ が負の奇数または偶数整数にのみ実零点を持つのか？
• RQ2 $ 0 < a < 1/4 $ のとき、$ Z(s,a) $ および $ P(s,a) $ の実零点の漸近的挙動は何か？
• RQ3 拡張されたセルバーグクラスに属する次数2の $ L $-関数を、すべての実零点が非正の偶数または奇数整数にのみ存在し、複素零点が $ \sigma > 1 $, $ 0 < \sigma < 1/2 $, および $ 1/2 < \sigma < 1 $ の領域にあるように構成できるか？
• RQ4 リーマンおよびデデキンドゼータ関数の関数方程式は、構成された $ L $-関数のDirichlet級数展開および関数方程式とどのように関係しているか？
• RQ5 $ 0 < a < 1/2 $ または $ 1/2 < a < 1 $ のとき、 $ \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) $ が実直線上で零点を持たない条件は何か？

主な発見

• $ 0 < a < 1/2 $ または $ 1/2 < a < 1 $ のとき、周期的ゼータ関数 $ \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) $ は実直線上で零点を持たない。
• $ 0 < a < 1/2 $ のとき、$ Y(s,a) $, $ O(s,a) $, および $ X(s,a) $ のすべての実零点は単一であり、負の奇数整数にのみ存在する。
• $ Z(s,a) = \zeta(s,a) + \zeta(s,1-a) $ のすべての実零点は単一であり、 $ 1/4 \leq a \leq 1/2 $ であるためかつそのときに限り、非正の偶数整数にのみ存在する。
• $ P(s,a) = \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) + \text{Li}_s(e^{2\pi i(1-a)}) $ のすべての実零点は単一であり、 $ 1/4 \leq a \leq 1/2 $ であるためかつそのときに限り、負の偶数整数にのみ存在する。
• $ 0 < a < 1/4 $ のとき、$ Z(s,a) $ および $ P(s,a) $ の実零点は特定の漸近的挙動を示すが、正確な位置は整数に制限されない。
• 本稿では、すべての実零点が非正の偶数または奇数整数にのみ存在し、臨界帯に無限個の複素零点を持つ、次数2の拡張セルバーグクラスの $ L $-関数を構成した。