[論文レビュー] One-dimensional abstract local class field theory

Ivan D. Chipchakov|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特定のブラウアー群の条件を満たす体 E に対して、1次元の抽象的局所類体論を確立する。具体的には、E がその最大 p-拡張に真に含まれる場合、Br(E) の非自明な p-成分を有すること、および任意の巡回的 p-拡張 L/E に対して Br(L/E) が Br(E) の最大の p-指数部分群に一致することを仮定する。このもとで、E の有限アーベル拡張はそのノルム群によって一意に決定され、基本的対応、局所再帰法則、ハッセ記号の類似が成り立つことが示され、古典的局所類体論を抽象的枠組みに一般化する。

ABSTRACT

Abstract. Let E be a field satisfying the following conditions: (i) the p-component of the Brauer group Br(E) is nontrivial whenever p is a prime number for which E is properly included in its maximal p-extension; (ii) the relative Brauer group Br(L/E) equals the maximal subgroup of Br(E) of exponent p, for every cyclic extension L/E of degree p. The paper proves that finite abelian extensions of E are uniquely determined by their norm groups and related essentially as in the classical local class field theory. This includes analogues to the fundamental correspondence, the local reciprocity law and the local Hasse symbol.

研究の動機と目的

• ブラウアー群の条件を用いて、1次元的状況における抽象的局所類体論の枠組みを構築すること。
• 局所体の仮定を廃し、コホモロジー的および群論的公理に置き換えることで、古典的局所類体論を一般化すること。
• 与えられたブラウアー群の制約のもとで、E の有限アーベル拡張がノルム群によって一意に決定されることを証明すること。
• この抽象的枠組みにおいて、基本的対応、局所再帰法則、ハッセ記号の類似を確立すること。
• 巡回的 p-拡張における相対ブラウアー群の構造を、絶対ブラウアー群の最大の p- torsion 部分群として特徴付けること。

提案手法

• 任意の素数 p に対して、E がその最大 p-拡張に真に含まれる場合、ブラウアー群 Br(E) の p-成分が非自明であると仮定する。
• 任意の次数 p の巡回的拡張 L/E に対して、相対ブラウアー群 Br(L/E) が Br(E) の指数 p の最大部分群に一致するという条件を課す。
• これらの公理を用いて、E の有限アーベル拡張のノルム群の性質を導出する。
• コホモロジー的技法を用い、Br(E) の構造とガロアコホモロジー、類体論の双対性を関連付ける。
• ノルム群を介して、E の有限アーベル拡張と絶対ガロア群の開部分群（有限指数）との間の全単射対応を確立する。
• 局所再帰写像およびハッセ記号を、古典的局所類体論における不変量の抽象的類似として構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようなブラウアー群の条件下で、E の有限アーベル拡張のノルム群がその拡張を一意に決定するか？
• RQ2 E が局所体でない抽象的状況において、古典的局所再帰法則をどのように再構成できるか？
• RQ3 巡回的 p-拡張 L/E に対する相対ブラウアー群 Br(L/E) は、Br(E) の構造をどの程度反映しているか？
• RQ4 コホモロジー的公理のみを満たす体に対して、基本的対応およびハッセ記号を一般化できるか？
• RQ5 Br(E) にどのような抽象的条件を課すと、アーベル拡張のノルム群が拡張を完全に分類可能になるか？

主な発見

• 与えられたブラウアー群の公理のもとで、E の有限アーベル拡張はノルム群によって一意に決定される。
• 局所再帰写像が存在し、E の乗法群のプロファイント完成形から E の絶対ガロア群のアーベル化への同型写像である。
• ハッセ記号は適切に定義されており、Br(E) の p- torsion 部分群に値をとる。これは古典的局所記号の一般化である。
• 任意の次数 p の巡回的拡張 L/E に対して、相対ブラウアー群 Br(L/E) は Br(E) の指数 p の最大部分群に同型である。
• ノルム群を介した、有限アーベル拡張と Gal(E^s/E) の開部分群（有限指数）との間の基本的対応が成立する。
• E が局所体である場合、この理論は古典的局所類体論を回復する。これにより、公理が古典的ケースと整合していることが示される。