[論文レビュー] One-dimensional discrete-time quantum walks on random environments

Norio Konno|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、経路数え上げ技術を用いて、1次元の離散時間量子ウォークが確率的環境下で満たすクエンチドおよびアンネールド弱極限定理を確立する。 walker の位置の極限分布を導出し、クエンチド極限が局所的環境パラメータ ω₀ に依存するのに対し、アンネールド極限は ω₀ について平均化されることを示し、対称ハダマードウォークの既知の極限を確率的環境へ一般化する。

ABSTRACT

We consider discrete-time nearest-neighbor quantum walks on random environments in one dimension. Using the method based on a path counting, we present both quenched and annealed weak limit theorems for the quantum walk.

研究の動機と目的

• 1次元の確率的環境下における離散時間量子ウォークの最初の厳密な弱極限定理を確立すること。
• 固定された環境条件下（クエンチド）および環境について平均化した（アンネールド）測度の下で、walker の位置分布の漸近的挙動を分析すること。
• 空間的に不均一で確率的なユニタリ行列をとる場合の、対称ハダマードウォークの既知の極限定理を一般化すること。
• 組み合わせ的和を用いて経路振幅の明示的表現を導出し、漸近的解析に際してジャコビ多項式と関連付けること。

提案手法

• モデルは、i.i.d. な確率的ユニタリ行列 $ U_x = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} e^{i\omega_x} & 1 \\ 1 & -e^{-i\omega_x} \end{bmatrix} $ を用い、$ \omega_x \in \mathbb{R} $ が局所的ダイナミクスを定義する。
• 経路数え上げを用いて、$ n = l + m $ ステップ後に位置 $ x = -l + m $ に到達する振幅を計算する。
• ハダマードウォークの振幅 $ p_n^{(H)}(l,m) $ および $ q_n^{(H)}(l,m) $ は、二項係数と交互符号を含む和として表現される。
• これらの和は、ジャコビ多項式 $ P^{\nu,\mu}_{n}(x) $ を用いて書き直され、超幾何関数の恒等式を用いた漸近的解析が可能になる。
• 特性関数 $ E_n^\omega(e^{i\xi X_n/n}) $ を $ n \to \infty $ の極限で解析し、弱極限定理が得られる。
• クエンチド極限は、決定的ハダマードウォークの極限と $ \sin(\omega_0) $ 比例の摂動項を組み合わせることで導出され、修正された密度関数が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の確率的環境下における離散時間量子ウォークの walker の位置の漸近的分布は何か？
• RQ2 標準的なハダマードウォークと比較して、確率的環境の存在が弱極限定理に与える影響は何か？
• RQ3 経路数え上げと特殊関数を用いて、クエンチドおよびアンネールド分布を明示的に特徴づけられるか？
• RQ4 局所的環境パラメータ $ \omega_0 $ は、極限分布の形状にどのように寄与するか？
• RQ5 与えられた左/右移動ステップ数を持つ経路の振幅は、漸近的状態で直交多項式とどのように関係するか？

主な発見

• クエンチド弱極限は、区間 $ [-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}] $ 上で、$ \frac{1 - \sin(\omega_0)x}{\pi(1 - x^2)\sqrt{1 - 2x^2}} $ に比例する確率密度関数に収束する。
• アンネールド弱極限は $ \omega_0 $ について平均化することで得られ、$ \omega_0 = 0 $ のとき標準的なハダマードウォークの極限に戻る。
• 経路振幅 $ p_n^{(H)}(l,m) $ および $ q_n^{(H)}(l,m) $ は、ジャコビ多項式 $ P^{0,n-2l}_{l-1}(0) $ および $ P^{1,n-2l}_{l-1}(0) $ を用いて表現され、精密な漸近的解析が可能になる。
• 特性関数 $ E_n^\omega(e^{i\xi X_n/n}) $ は、$ \sin(\omega_0) $ を含む積分に収束し、環境が標準密度関数に線形補正を加えることが示される。
• 極限密度関数は $ x = \pm 1/\sqrt{2} $ で特異的であり、逆平方根特異性を示す。これはハダマードウォークと同様の性質だが、環境パラメータによって変調されている。
• 本手法により、ハダマードウォークの極限定理が確率的環境へ一般化され、不規則媒体における量子ウォークの今後の研究の厳密な基盤が提供された。