[論文レビュー] One-dimensional Fermi gas with a single impurity in a harmonic trap: Perturbative description of the upper branch

Seyed Ebrahim Gharashi, X.Y. Yin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、1次元の調和的におさめられたフェルミ気体と1つの不純物の間の相互作用エネルギーを、逆相互作用強度 $\gamma$ の弱い相互作用および強い相互作用の展開を用いて摂動的フレームワークで計算する。広い範囲の結合定数において、上分岐エネルギーの高精度な解析的表現が得られ、収束限界と $\gamma^{-3}$ までの体系的補正が与えられ、$N=1,2,3$ および $N\to\infty$ に対して数値ベンチマークと一致する。この手法により、接触項や有効スピン模型などの観測量の信頼できる予測が可能になる。

ABSTRACT

The transition from "few to many" has recently been probed experimentally in an ultra cold harmonically confined one-dimensional lithium gas, in which a single impurity atom interacts with a background gas consisting of one, two, or more identical fermions [A. N. Wenz {\em{et al.}}, Science {\bf{342}}, 457 (2013)]. For repulsive interactions between the background or majority atoms and the impurity, the interaction energy for relatively moderate system sizes was analyzed and found to converge toward the corresponding expression for an infinitely large Fermi gas. Motivated by these experimental results, we apply perturbative techniques to determine the interaction energy for weak and strong coupling strengths and derive approximate descriptions for the interaction energy for repulsive interactions with varying strength between the impurity and the majority atoms and any number of majority atoms.

研究の動機と目的

• 1次元の調和的におさめられたフェルミ気体に1つの不純物と斥力的点相互作用を有する系における上分岐エネルギーの体系的摂動的記述を構築すること。
• 弱い相互作用および強い相互作用の両領域において、摂動理論を一次の項を超えて拡張し、広い範囲の結合強度で高精度なエネルギー予測を可能にすること。
• 任意の多数フェルミオン数 $N$ に対して、$\gamma$ および $\gamma^{-1}$ の3次までの解析的展開を提供し、収束限界を明示すること。
• 摂動的結果を正確な数値的少数体エネルギーと比較し、その妥当性領域を評価すること。
• 超冷却原子系における接触項や有効スピン模型の妥当性を信頼できる方法で推定可能とする。

提案手法

• ゼロレンジ2体相互作用を有する $(N,1)$ システムのハミルトニアンにレイリー＝シュレーディンガー摂動論を適用する。
• 上分岐エネルギーを $\gamma$（弱い結合）および $\gamma^{-1}$（強い結合）の級数展開として行い、係数を段階的に導出する。
• 粒子が重なる点における波動関数の微分不連続性を用いて、接触相互作用を境界条件としてモデル化する。
• $N=1,2,3,\infty$ の数値データに基づき、一般化できない $N$ 依存係数をフィッティングし、すべての $N$ に対して有効な近似式を得る。
• 弱い相互作用領域では $\gamma^3$ まで、強い相互作用領域では $\gamma^{-3}$ までの補正を体系的に取り入れる。
• 摂動的結果と数値的に正確なエネルギーを比較し、$N=1$ および $N\to\infty$ における精度と収束半径を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\gamma$ および $\gamma^{-1}$ における摂動展開が、弱いおよび強い結合領域において、1次元の調和的におさめられたフェルミ気体に1つの不純物を有する系の上分岐エネルギーを高精度で記述できるか。
• RQ2 $\gamma$ および $\gamma^{-1}$ における摂動級数の収束性はいかなるものか。$N=1$ および $N\to\infty$ における収束半径は何か。
• RQ3 1次以上の項における展開係数の振る舞いはどのように変化し、高次補正がエネルギー予測に与える影響は何か。
• RQ4 有限の $N$ および熱力学的極限において、摂動的フレームワークがどれほど正確にエネルギーを記述できるか。特に強い相互作用領域において。
• RQ5 摂動的結果を用いて、接触項を信頼できる方法で推定できるか。また、このような系における有効スピン模型の適用可能性を評価できるか。

主な発見

• 弱い反発的領域において、$\gamma$ について $\gamma^3$ まで展開した摂動的展開は、すべての $N$ に対して上分岐エネルギーを信頼できる方法で記述する。
• 強い相互作用領域においては、$\gamma^{-1}$ について $\gamma^{-3}$ まで展開した展開が、広い範囲の結合強度で高精度なエネルギー予測を提供する。
• $N=2$ の場合、2次補正項 $\delta_2^{(s)}(2,3) = -2.31(12)$ は1次項よりも著しく大きくなるため、$\gamma$ が大きい領域で摂動級数が非単調的になることが示され、図4(c)の破線が逆転する原因となっている。
• $\gamma^{-1}$ 級数の収束半径は強い相互作用領域で小さいことが判明し、非常に大きな $\gamma$ に対しては展開の有効性が制限されるが、中程度から大きな $\gamma$ に対しては依然として高精度である。
• 数値的に正確なエネルギーと比較した結果、摂動的結果は良好な一致を示しており、$\delta(3,\infty)$ および $\delta(2,3)$ の誤差は $\gamma$ が大きいと大きくなり、有意義な比較は不可能である。
• このフレームワークにより、接触項の信頼できる推定が可能となり、超冷却フェルミ系における有効スピン模型の適用可能性の範囲を評価できる。