[論文レビュー] One-dimensional foliations on topological manifolds

Sergiy Maksymenko, Eugene Polulyakh|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、次元 $ n+1 $ の位相的多様体 $ X $、すべての葉が非コンパクトな1次元の葉に分けた foliation $ \Delta $、および葉空間が非ハウスドルフとなる特殊な葉の集合が局所的に有限であるという条件下で、商写像 $ p: X \to X/\Delta $ が局所的に自明なファイブレーションであるための必要十分条件を確立する。主な結果は、葉空間の位相的性質を用いて $ C^0 $ 圏におけるファイブレーションを特徴づけるものであり、カプランらの古典的結果を滑らかさやハウスドルフ性の仮定なしに一般化したものである。

ABSTRACT

Let $X$ be an $(n+1)$-dimensional manifold, $Δ$ be a one-dimensional foliation on $X$, and $p: X o X / Δ$ be a quotient map. We will say that a leaf $ω$ of $Δ$ is special whenever the space of leaves $X / Δ$ is not Hausdorff at $ω$. We present necessary and sufficient conditions for the map $p: X o X / Δ$ to be a locally trivial fibration under assumptions that all leaves of $Δ$ are non-compact and the family of all special leaves of $Δ$ is locally finite.

研究の動機と目的

• 位相的多様体上の1次元の葉に分けた構造に対して、商写像 $ p: X \to X/\Delta $ が局所的に自明なファイブレーションであるための必要十分条件を特定すること。
• 滑らかさの仮定なしに、ファイブレーションおよび擬調和関数に関する古典的結果（例えばカプランの研究）を $ C^0 $ 圏に拡張すること。
• 特に特殊な葉における非ハウスドルフ性に注目し、葉空間 $ X/\Delta $ の位相を用いてファイブレーション性を特徴づけること。
• 非コンパクトな曲面やストリップ型の葉に分けた構造に関する先行研究を、一般の $ (n+1) $ 次元の位相的多様体にまで一般化すること。

提案手法

• 局所的に積構造を持つようにするため、葉に分けたチャートおよび最大葉に分けたアトラスを用いて $ X $ 上の葉に分けた構造を定義する。
• 葉空間 $ X/\Delta $ がハウスドルフでない点として「特殊な葉」を定義し、その族が局所的に有限であると仮定する。
• E. マイケルの選択定理および正規空間のKatetov-Tong特徴づけを応用し、連続な断面を構成する。
• 葉の端の集合を対応づける多価関数 $ a, b: V \to \mathcal{E}(X) $ に対して、下半連続性および等質的 $ LC^k $ 性質を用いて連続な選択肢を構成する。
• 境界付きの場合を境界なしの場合に還元するため、多様体 $ X $ の二重 $ \widehat{X} $ を用い、対合を用いて断面を拡張する。
• 断面の飽和を用いた証明により、像が $ \mathbb{R} \times V $ に葉に分けた同相であることを示し、局所自明性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 葉空間 $ X/\Delta $ にどのような位相的条件が成立すれば、商写像 $ p: X \to X/\Delta $ が局所的に自明なファイブレーションとなるか？
• RQ2 すべての葉が非コンパクトで、特殊な葉の集合が局所的に有限である場合、ファイブレーション性は葉空間の位相のみを用いてどのように特徴づけることができるか？
• RQ3 カプランによる $ \mathbb{R}^2 $-葉に分けた構造に関する古典的結果は、滑らかさの仮定なしに一般の位相的多様体へ拡張可能か？
• RQ4 葉の端集合の連続的選択肢が、商写像の局所自明化を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 商写像 $ p: X \to X/\Delta $ が局所的に自明なファイブレーションであるための必要十分条件は、特殊な葉の集合が局所的に有限であること、および葉空間 $ X/\Delta $ が非コンパクトな葉の端の挙動に関連する特定の位相的正則性条件を満たすことである。
• 各点の葉近傍に対して葉の2つの端を割り当てる多価関数 $ a $ および $ b $ に対して、連続な断面が存在することは、局所自明性の必要十分条件である。
• このような断面の構成は、端集合の下半連続性および等質的 $ LC^k $ 性質に依存しており、局所的な葉に分けた埋め込みと収縮可能性の議論によって確立される。
• 多様体 $ \widehat{X} $ の二重構造により、境界付きの場合を境界なしの場合に還元でき、境界の障害がない状況で選択定理を適用可能になる。
• 結果は $ C^0 $ 圏で成立し、滑らかさの仮定は一切不要であるため、滑らかさやセール・ファイブレーションの設定とは区別される。