[論文レビュー] One-dimensional Hadamard Quantum Walk on a Cycle with Rotational Implementation

Κωνσταντίνος Γεωργόπουλος, Paolo Zuliani|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化された制御反転ゲートの代わりに回転演算子を用いることでアーキテクチャのアダルタ・キュービット数を削減する、サイクルグラフ上の1次元ハダマード量子ウォークの回転型実装を提案する。シミュレーションおよびIBMの量子ハードウェアを用いて8ノード、16ノード、32ノード、64ノードのサイクル上でウォークを実装し、エラー評価のためヘリンジャー距離に基づくクロスエントロピーベンチマークを適用し、ウォークの分散を導出し、スケーラブルで低オーバーヘッドな量子ウォーク回路設計を実証する。

ABSTRACT

Quantum walks have been extensively studied recently, mainly due to their vast difference in behavior to classical random walks. This paper is concerned with discrete time and space quantum walks of particles that propagate through a one-dimensional line. This line can be either a lattice or a graph or any other form of mathematical structure that can be viewed as a one-dimensional line. First is defined a concrete way to describe the unitary evolution of a quantum walk through a balanced coin operator and a shift operator. Then follows the implementation of the quantum walk on an $8$-cycle, i.e a cycle graph with $8$ nodes, which is then run locally as a simulation and on IBM's quantum computer. The paper explores two implementations of the quantum walk as a quantum circuit: the first one consists of generalised controlled inversions, as introduced in \cite{EffWalk}, whereas the second one tries to replace them with rotation operators around the basis states. The main aim is to find a way around the caveat resulting from the large amount of ancilla qubits required to carry out the computation in the case where only generalised inverters are used. Next, another three experiments are computed, involving cycles with a larger state space, more specifically $16$, $32$ and $64$ possible positions. In order to measure the magnitude of the error of the circuit we use the cross entropy benchmarking method, calculated through the Hellinger distance. Finally, a derivation of the variance of the quantum walk is provided along with a calculation of the variance for our experiment.

研究の動機と目的

• 一般化された制御反転ゲートを回転演算子に置き換えることで、離散的時間量子ウォークにおけるアダルタ・キュービット数を削減すること。
• シミュレーションおよび実際の量子ハードウェアを用いて、ノード数が8から64に増加するサイクルグラフ上での1次元ハダマード量子ウォークの実装とベンチマークを実施すること。
• エラーの定量化のため、ヘリンジャー距離に基づくクロスエントロピーベンチマークを用いて回路の忠実度を評価すること。
• 理論的分散を導出し、実験結果と照合してウォークの挙動を検証すること。

提案手法

• 1次元サイクル上での量子ウォークのユニタリな時間発展を、バランスの取れたハダマードコイン演算子とシフト演算子を用いて定義する。
• 一般化された制御反転ゲートの代わりに回転に基づく操作を用いた量子回路を用いて、8ノード、16ノード、32ノード、64ノードのサイクルグラフ上でウォークを実装する。
• シミュレートされた環境および実際のIBM量子デバイスの両方で、ヘリンジャー距離を用いたクロスエントロピーベンチマークを適用し、量子回路の忠実度とエラーを測定する。
• 実験結果と照合するため、量子ウォークの理論的分散を導出する。
• 局所的なシミュレーション環境とIBMのクラウドベースの量子プロセッサを用いて、実験的実行と検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転に基づく操作は、量子ウォーク回路における一般化された制御反転ゲートの代替として有効に機能し、アダルタ・キュービットのオーバーヘッドを削減できるか？
• RQ2 実際の量子ハードウェア上で、ノード数が8から64に増加するに従い、量子ウォーク回路の忠実度はどのように低下するか？
• RQ3 実験的分散が理論的予測とどの程度一致するか？
• RQ4 ヘリンジャー距離に基づくクロスエントロピーベンチマークは、量子ウォーク実装におけるエラーをどの程度正確に定量化できるか？

主な発見

• 回転型実装により、一般化された制御反転ゲート方式と比較してアダルタ・キュービット数の要件が明確に削減され、よりスケーラブルな量子ウォーク回路設計が可能になった。
• 8ノード、16ノード、32ノード、64ノードのサイクルに対して、量子ウォークはシミュレーションおよびIBMの量子ハードウェア上で正常に実行され、実機上での実現可能性が示された。
• ヘリンジャー距離に基づくクロスエントロピーベンチマークにより、ノード数が増加するに従い一貫したエラー傾向が観測され、ノイジーな中規模量子（NISQ）ハードウェア上での忠実度の低下が明確に示された。
• 測定された量子ウォークの分散は理論的分散と非常に近い値を示し、実装の正しさおよび基礎となる量子ウォークモデルの妥当性が検証された。