[論文レビュー] One-dimensional maps and Poincaré metric

Grzegorz Świątek|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 1990

Analytic and geometric function theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1次元写像の合成における歪み制御技術を、ポアンカレ計量を用いて開発し、コーエーベ原理の条件下で一様な連続的歪みが有界であることを証明するとともに、ほとんど線形分数写像でかつ総非線形性が小さい写像はアフィン写像により良好に近似可能であることを示した。この枠組みを応用して、臨界円周写像に関する剛性結果を確立した。

ABSTRACT

Invertible compositions of one-dimensional maps are studied which are assumed to include maps with non-positive Schwarzian derivative and others whose sum of distortions is bounded. If the assumptions of the Koebe principle hold, we show that the joint distortion of the composition is bounded. On the other hand, if all maps with possibly non-negative Schwarzian derivative are almost linear-fractional and their nonlinearities tend to cancel leaving only a small total, then they can all be replaced with affine maps with the same domains and images and the resulting composition is a very good approximation of the original one. These technical tools are then applied to prove a theorem about critical circle maps.

研究の動機と目的

• 非正のシュワーツ微分をもつ1次元写像の合成の歪み特性を分析すること。
• 全非線形性が有界である条件下で、非負のシュワーツ微分をもつ写像に対しても歪み制御を拡張すること。
• 非線形性がほぼ相殺される場合に、複雑な写像の合成をアフィン写像で近似するためのツールを開発すること。
• これらの技術を臨界円周写像に適用し、剛性定理を証明すること。
• コーエーベ原理が合成において一様な歪みバウンドを保証する条件を確立すること。

提案手法

• 非正のシュワーツ微分をもつ写像の合成における歪みを制御するために、コーエーベ原理を適用する。
• 歪みの測定および写像合成の連続的歪みのバウンディングに、ポアンカレ計量を用いる。
• 非負のシュワーツ微分をもつ写像に対しても、全非線形性の概念を導入する。
• 全非線形性が小さい場合、写像は合成において誤差が無視できる程度にアフィン写像に置き換え可能であることを示す。
• 歪みの和とポアンカレ計量に基づく歪み推定を用いて、反復写像の挙動を制御する。
• 開発されたツールを臨界円周写像に適用し、特定の力学的条件下で剛性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元写像の合成における連続的歪みが一様に有界であるのはどのような条件下か？
• RQ2 シュワーツ微分が非負の写像を、力学的性質を保ちながらアフィン写像でどのように近似できるか？
• RQ3 全非線形性は、写像合成におけるアフィン近似の品質にどのように寄与するか？
• RQ4 コーエーベ原理を、非正のシュワーツ微分をもつ写像を含む合成に拡張できるか？
• RQ5 臨界円周写像における歪み制御から導かれる力学的剛性結果は何か？

主な発見

• 非正のシュワーツ微分をもつ写像の合成は、コーエーベ原理の下で一様な歪みバウンディングを満たす。
• 非負のシュワーツ微分をもつ写像の全非線形性が小さい場合、合成においてアフィン写像に置き換え可能であり、誤差は無視できる。
• ポアンカレ計量は、1次元写像の合成における歪みの測定および制御に効果的なツールを提供する。
• 歪みの和が有界であり、かつコーエーベ原理が適用される場合、合成の歪みは有界である。
• 開発された技術により、臨界円周写像に関する剛性定理が得られ、このような写像はその組み合わせ的および計量的データによって一意に決定される。
• 非線形性が十分に小さい場合、アフィン近似は元の写像合成の本質的力学的構造を保つ。