[論文レビュー] One-dimensional quantum systems at finite temperatures can be simulated efficiently on classical computers

Thomas Barthel|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2017

Quantum many-body systems参考文献 78被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、行列積状態（MPS）を用いて、熱場二重状態（TDS）とRényi量子もつれエントロピーのスケーリングを活用することで、有限温度における1次元量子系を古典的コンピュータ上で効率的にシミュレートできることを示している。ギャップのない系では必要な結合次元が逆温度の多項式的に増加し、ギャップのある系では一定に保たれることを証明しており、DMRGに類似した手法による効率的な古典的シミュレーションが可能である。

ABSTRACT

It is by now well-known that ground states of gapped one-dimensional (1d) quantum-many body systems with short-range interactions can be studied efficiently using classical computers and matrix product state techniques. A corresponding result for finite temperatures was missing. Using the replica trick in 1+1d quantum field theory, it is shown here that the cost for the classical simulation of 1d systems at finite temperatures grows in fact only polynomially with the inverse temperature and is system-size independent -- even for gapless systems. In particular, we show that the thermofield double state (TDS), a purification of the equilibrium density operator, can be obtained efficiently in matrix-product form. The argument is based on the scaling behavior of Rényi entanglement entropies in the TDS. At finite temperatures, they obey the area law. For gapless systems with central charge $c$, the entanglement is found to grow only logarithmically with inverse temperature, $S_α\sim \frac{c}{6}(1+1/α)\log β$. The field-theoretical results are tested and confirmed by quasi-exact numerical computations for integrable and non-integrable spin systems, and interacting bosons.

研究の動機と目的

• 有限温度における1次元量子系が、従来の基底状態に関する結果を拡張して、古典的に効率的にシミュレート可能であることを確立すること。
• 熱密度行列の純化である熱場二重状態（TDS）のもつれ構造を分析すること。
• ギャップのない系ですらも面積則に従うRényiもつれエントロピーがTDSで成立することを証明すること。
• ギャップのない系では、MPS近似に必要な結合次元が逆温度に対して多項式的にスケーリングし、ギャップのある系では一定に保たれることを示すこと。
• 可解および不可解なスピン模型と相互作用するボソン系を用いた数値的検証を提供すること。

提案手法

• 熱場二重状態（TDS）を熱密度行列の純化として用い、有限温度におけるMPS表現を可能にする。
• 1+1次元の量子場理論におけるレプリカトリックを用いて、TDSにおけるRényiもつれエントロピーを計算する。
• 円筒上およびねじれ場を伴うn重に折りたたまれた多様体におけるユークリッド経路積分を用いたTDSの場理論的解析。
• 臨界系（CFT）およびギャップのある系（質量のあるQFT）におけるRényiもつれエントロピーのスケーリングを導出し、ギャップのない系では逆温度に比例して対数的に増加することを示す。
• スピンチェーンおよびボソン系における切断クラスタ展開と準正確なシミュレーションを用いて、数値的検証を実施する。
• 主要化理論を用いて、MPS近似における切断誤差と結合次元の関係を示すRényiエントロピーの下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限温度における1次元量子系は、行列積状態を用いて古典的コンピュータ上で効率的にシミュレート可能か？
• RQ2 1次元系における有限温度の熱場二重状態におけるRényiもつれエントロピーのスケーリング挙動はいかなるものか？
• RQ3 熱状態の正確なMPS表現に必要な結合次元は、逆温度に対して多項式的に増加するか？
• RQ4 ギャップのある系とギャップのない系における熱場二重状態のもつれ構造にはどのような相違があるか？
• RQ5 もつれスケーリングに関する解析的予測は、可解および不可解なモデルの両方で数値的に確認可能か？

主な発見

• ギャップのない1次元系における熱場二重状態のRényiもつれエントロピーは、逆温度に比例して対数的に増加し、$ S_{\beta} \sim \frac{c}{6}(1+1/\alpha)\log\beta $ と表される。ここで $ c $ は中心電荷である。
• ギャップのある1次元系では、Rényiもつれエントロピーは面積則に従い、MPS表現における必要な結合次元は系のサイズおよび逆温度に依存しない。
• ギャップのない系では、結合次元 $ D $ が逆温度に対して多項式的にスケーリングし、$ D = \mathcal{O}(\beta^{\lambda}) $ と表され、$ \lambda = \frac{c}{6}(1+1/\alpha) $ となる。これにより、効率的な古典的シミュレーションが可能である。
• 熱場二重状態は、系のサイズに依存しない結合次元で忠実に行列積状態として表現可能である。
• スピンチェーンおよび相互作用するボソン系の数値的シミュレーションにより、逆温度に比例してもつれが対数的に増加するという予測が確認された。
• 与えられた近似誤差に対して必要な結合次元を推定可能なRényiエントロピーの下界が導出され、$ \epsilon $ を切断誤差とすると、$ D $ は $ \mathcal{O}((D-1)^{1-\alpha}\epsilon^{\alpha}) $ に比例する。