[論文レビュー] One-dimensional quantum walks with absorbing boundaries

Eric Bach, S. N. Coppersmith+3 more|ArXiv.org|Jul 1, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、生成関数および固有関数法を用いて吸収境界を有する1次元量子ウォークを分析し、量子干渉のため、吸収確率が古典的ランダムウォークとは異なり1未塔であることを示している。固有関数法はd次元系へと拡張され、生存確率は$1/t^{d/2}$で減少し、2壁系では吸収時間は$1/\sqrt{t}$に比例する。波フロントは最大群速度で力学的（balistically）に広がる。

ABSTRACT

In this paper we analyze the behavior of quantum random walks. In particular we present several new results for the absorption probabilities in systems with both one and two absorbing walls for the one-dimensional case. We compute these probabilites both by employing generating functions and by use of an eigenfunction approach. The generating function method is used to determine some simple properties of the walks we consider, but appears to have limitations. The eigenfunction approach works by relating the problem of absorption to a unitary problem that has identical dynamics inside a certain domain, and can be used to compute several additional interesting properties, such as the time dependence of absorption. The eigenfunction method has the distinct advantage that it can be extended to arbitrary dimensionality. We outline the solution of the absorption probability problem of a (d-1)-dimensional wall in a d-dimensional space.

研究の動機と目的

• 1次元量子ウォークにおける1つまたは2つの吸収境界を有する系の吸収確率を分析すること。
• 吸収ダイナミクスを計算するための組み合わせ的アプローチと固有関数法の比較。
• 固有関数法を、(d−1)次元の吸収壁を有する高次元系へと拡張すること。
• d次元量子ウォークにおける吸収確率の時間依存性および波動関数の広がりの時間依存性を特定すること。
• 量子ウォークが古典的ウォークとは異なり、力学的広がりと非自明な生存確率を示すことを確立すること。

提案手法

• 1壁および2壁系における漸近的挙動を分析するため、生成関数を用いて吸収確率を計算する。
• 有界領域におけるユニタリダイナミクスと関連付けるために、固有関数展開法を適用する。
• 停留位相法を用いて波動関数の漸近的減衰を導出：d次元では$|\Psi| \sim t^{-d/2}$となる。
• 境界条件を満たすために、像法および境界条件を用いて吸収壁における振幅を0に設定する。
• 生存確率$\Lambda_M$を運動量空間における左向きモード（$v_1^\alpha < 0$）の積分として導出する。
• (d−1)次元の吸収壁を有する系への固有関数法の拡張において、反射係数の計算および初期条件の一致を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの吸収壁を有する1次元量子ウォークの吸収確率は何か。初期距離に依存するか。
• RQ2 ウォークが片方の壁から遠くにいるとき、2壁系における吸収確率はどのように振る舞うか。
• RQ3 1つまたは2つの吸収壁を有する系において、残存する吸収確率の時間依存性は何か。
• RQ4 固有関数法は、(d−1)次元の吸収壁を有するd次元量子ウォークにどのように一般化されるか。
• RQ5 d次元量子ウォークにおける波動関数の漸近的減衰および広がりの挙動は、何に依存するか。

主な発見

• 1壁系では、吸収確率は1未塔であり、時間とともに$1/t^2$で漸近的に減少する。
• 2壁系では、吸収されない確率は$1/\sqrt{t}$で減少し、漸近的極限への収束が遅いことを示している。
• 一般的な初期条件において、生存確率$\Lambda_M$は0と1の間で厳密に位置し、古典的ウォークとは対照的に、その確率が消えることはない。
• d次元空間では波動関数の振幅は$t^{-d/2}$で減衰し、確率分布が有限の波フロントを伴い力学的に広がることを示唆している。
• d次元における確率が最も高い領域の体積は$t^d$に比例し、力学的広がりと整合的である。
• 固有関数法は、(d−1)次元の吸収壁へと成功裏に一般化され、生存確率は運動量空間における左向きモードによって決定される。