[論文レビュー] One-dimensional quantum walks with one defect

Maŕıa José Cantero, F. Alberto Grünbaum+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、原点に1つの欠陥を有する1次元量子ウォークにおける局在化を分析するため、CGMVフレームワークに基づくスペクトル法を開発する。原点への帰還確率の明示的漸近式を導出し、欠陥によって誘導される束縛状態のおかげで、大多数の初期状態が局在化することを示す。また、欠陥のパラメータによって定まる1つの非局在化状態が存在する。

ABSTRACT

The CGMV method allows for the general discussion of localization properties for the states of a one-dimensional quantum walk, both in the case of the integers and in the case of the non negative integers. Using this method we classify, according to such localization properties, all the quantum walks with one defect at the origin, providing explicit expressions for the asymptotic return probabilities at the origin.

研究の動機と目的

• 原点に1つの欠陥を有する1次元量子ウォークの局在化特性を分類すること。
• 元来は欠陥なしのウォークに適用されていたCGMV法を、局在的不純物や欠陥を有する系へと拡張すること。
• スペクトル測度および直交多項式を用いて、原点への漸近的帰還確率の明示的表現を導出すること。
• 欠陥の影響によって量子ウォークの状態が局在化するか、局在化しないかの条件を特定すること。
• 欠陥のパラメータと、再帰行動に影響を与える束縛状態の存在との間の関係を確立すること。

提案手法

• ユニタリ作用素のスペクトル理論および単位円上の行列値直交多項式を用いるCGMV法を適用する。
• 量子ウォークの進化作用素の五重対角行列表現を用いて、スペクトル特性を分析する。
• スティルチェス変換およびスペクトル測度を用いて、欠陥がウォークのダイナミクスに与える影響を特徴付ける。
• スペクトル測度の離散的成分（質量点）と関連する波動関数の重なりを用いて、漸近的帰還確率を導出する。
• 生成関数および単位円上の自己同型写像を用いて、問題を関数論的枠組みに変換する。
• 変数変換 $\zeta(z) = -z^2 f_a(z)$ を用いて、欠陥のパラメータとスペクトルデータを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点に1つの欠陥が存在する場合、1次元量子ウォークの局在化特性にどのような影響を与えるか？
• RQ2 このような欠陥付きウォークにおける、原点への帰還確率の漸近的挙動は何か？
• RQ3 どのような条件下で量子ウォークの状態が局在化しなくなり、そのような非局在化状態が存在する条件は何か？
• RQ4 欠陥のコインパラメータは、スペクトル測度および帰還確率にどのように影響を与えるか？
• RQ5 CGMV法は、局在的摂動を有する量子ウォークを分析するために拡張可能か？その場合の解析的表現は何か？

主な発見

• 原点への漸近的帰還確率は、欠陥によって誘導される束縛状態に関連するスペクトル測度の離散的成分（質量点）によって決定される。
• スペクトル測度に1つの質量点が存在するウォークでは、帰還確率は正の定数に収束し、1つの状態を除きすべての初期状態が局在化することを示す。
• 非局在化状態は、$\hat{\beta} = \hat{\alpha} \frac{\overline{\zeta_0} - \overline{b}}{\rho_b}$ で定義される特定の重ね合わせに対応する。ここで $\zeta_0$ は特徴方程式の根である。
• 局在化確率は明示的に $\frac{1 + \frac{\rho_b^2}{|\zeta_0 - b|^2}}{\left(1 + 2\frac{\frac{\rho_b^2}{|\zeta_0 - b|^2}}{1 - \frac{\rho_a^2}{|\zeta_0 - a|^2}}\right)^2} \left| \hat{\alpha} - \hat{\beta} \frac{\rho_b}{\overline{\zeta_0} - \overline{b}} \right|^2$ と与えられ、欠陥パラメータ $a$ と $b$ に依存する。
• 複数の質量点が存在する場合、$z^n$ の振動項のため帰還確率は収束せず、非局在的または準周期的挙動を示す。
• 本手法は、カーリン＝マクレゴアのアプローチを量子ウォークに一般化し、単位円上の直交多項式を用いた、欠陥を有する系のスペクトル解析を可能にする。