[論文レビュー] One-dimensional Schr\"odinger operators with $\delta'$-interactions on a set of Lebesgue measure zero

Johannes F. Brasche, Л. П. Нижник|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Lebesgue測度がゼロである任意の閉集合 $Γ$ 上での1次元シュレーディンガー作用素の $δ'$-相互作用に対する抽象的枠組みを導入する。負の固有値の個数は、負の相互作用強度を持つ孤立点の個数以上であることが示された。$Γ$ にRadon測度が備わっている場合、無限個の負の固有値を持つ明示的例が構成された。

ABSTRACT

We give an abstract definition of a one-dimensional Schr\"odinger operator with $\delta'$-interaction on an arbitrary set~$\Gamma$ of Lebesgue measure zero. The number of negative eigenvalues of such an operator is at least as large as the number of those isolated points of the set~$\Gamma$ that have negative values of the intensity constants of the $\delta'$-interaction. In the case where the set~$\Gamma$ is endowed with a Radon measure, we give constructive examples of such operators having an infinite number of negative eigenvalues.

研究の動機と目的

• . $Γ$ をLebesgue測度がゼロである任意の閉集合とするとき、その上での自己共役シュレーディンガー作用素を $δ'$-相互作用で定義すること。
• . 負の強度定数を持つ孤立点の個数に基づいて、負の固有値の個数に対する下界を確立すること。
• . $Γ$ にRadon測度が備わっている場合、無限個の負の固有値を持つこのような作用素の明示的例を構成すること。
• . シュレーディンガー作用素の最小作用素 $L_{\min,\Gamma}$ の欠陥部分空間をグリーン関数とRadon測度を用いて特徴付けること。
• . 作用素 $E_4$ における境界データに作用するユニタリ行列を用いたユニタリ変換によって、自己共役拡大の完全分類を提供すること。

提案手法

• . 対称作用素の自己共役拡大の理論、特に最小作用素 $L_{\min,\Gamma}$ の欠陥部分空間を用いる。
• . $Γ$ の点における境界値の空間 $E_4$ に作用するユニタリ行列 $U$ を用いた境界条件を採用し、点相互作用モデルを一般化する。
• . 一般の自己共役条件を導くために、境界形式 $\omega(\Gamma\psi, \Gamma\phi)$ を対称的および反対称的部分 $\hat{\Gamma}_1, \hat{\Gamma}_2$ に分解する。
• . $z \in \mathbb{C} \setminus [0, \infty)$ に対して $g_z(x) = \frac{i}{2\sqrt{z}} e^{i\sqrt{z}|x|}$ と定義されるグリーン関数を用いて、欠陥部分空間 $N_{z,\Gamma}$ を特徴付ける。
• . 支持集合が $\Sigma_1, \Sigma_2$ に制限される正のRadon測度 $\mu$ に対して、畳み込み $g_z * \mu$ 及びその微分を用いて、欠陥部分空間の全集合を構成する。
• . Sobolev空間におけるスペクトル合成およびドミネート収束定理を用いて、$N_{z,\Gamma}$ 内の特定の関数集合の稠密性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . Lebesgue測度がゼロである任意の閉集合 $Γ$ 上での1次元シュレーディンガー作用素の $δ'$-相互作用の一般抽象的定義は何か？
• RQ2 . こうした作用素の負の固有値の個数は、負の強度定数を持つ $Γ$ の孤立点とどのように関係するか？
• RQ3 . $Γ$ にRadon測度が備わっている場合、無限個の負の固有値を持つ明示的例を構成できるか？
• RQ4 . 最小作用素 $L_{\min,\Gamma}$ の欠陥部分空間の構造は何か？ そして、グリーン関数と測度を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ5 . 関数集合 $\{g_z(x - \gamma)\} \cup \{g_z'(x - \gamma)\}$ が欠陥部分空間 $N_{z,\Gamma}$ で全集合であるための必要十分条件は何か？

主な発見

• . $δ'$-相互作用作用素 $L_{\Gamma,\delta'}$ の負の固有値の個数は、$Γ$ の負の強度定数を持つ孤立点の個数以上である。
• . $Γ$ にRadon測度が備わっている場合、本稿では $L_{\Gamma,\delta'}$ が無限個の負の固有値を持つ明示的例を構成した。
• . 欠陥部分空間 $N_{z,\Gamma} = \text{ran}(L_{\min,\Gamma} - z)^\perp$ は、$M_\Gamma$（$Γ$ にコンパクトな台を持つ正のRadon測度の集合）に属する $\mu$ に対して、$\{g_z * \mu : \mu \in M_\Gamma\} \cup \{(g_z * \nu)' : \nu \in M_\Gamma\}$ の閉包として表される。
• . 集合 $\{g_z(x - \gamma) : \gamma \in \Sigma_1\} \cup \{g_z'(x - \gamma) : \gamma \in \Sigma_2\}$ が $N_{z,\Gamma}$ で全集合であるための必要十分条件は、$\Sigma_1$ が $Γ$ で稠密であること、および $\Sigma_2$ が $Γ$ のすべての孤立点を含むことである。
• . 与えられた $δ'$-相互作用作用素 $A$ に対して、$A$ と自由ハミルトニアン $SU$ が、$\text{ran}(T + i)^\perp$ 内で1次元の直交補空間を共有するならば、負の固有値の個数（重複度を数える）は高々1個である。
• . $SU$ を自由ハミルトニアンとして実現するユニタリ写像 $U$ は、すべての $\mu \in M_\Gamma$ に対して $U(g_{-i} * \mu) = -g_i * \mu$ および $U((g_{-i} * \mu)') = -(g_i * \mu)'$ を満たす。