[論文レビュー] One generator $(1+u)$-quasi twisted codes over $F_2+uF_2$

Jian Gao, Qiong Kong|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2013

Coding theory and cryptography被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$F_2 + uF_2$ 上の1+u-準巡回（QT）コードの3種類の1生成子型について最小生成集合を提示し、$A_2$-型コードの特殊クラスに対する最小レーマン距離の下界を確立する。グレイ写像を用いることで、これらのコードは$F_2$ 上の最適または準最適な線形コードを生成する。例として$[12,5,4]$、$[18,2,12]$、$[24,3,12]$コードが含まれる。

ABSTRACT

This paper gives the minimum generating sets of three types of one generator $(1+u)$-quasi twisted (QT) codes over $F_2+uF_2$, $u^2=0$. Moreover, it discusses the generating sets and the lower bounds on the minimum Lee distance of a special class of $A_2$ type one generator $(1+u)$-QT codes. Some good (optimal or suboptimal) linear codes over $F_2$ are obtained by these types of one generator $(1+u)$-QT codes.

研究の動機と目的

• 1+u-準巡回コードの3種類の1生成子型について、$F_2 + uF_2$ 上の最小生成集合を特定すること。
• $A_2$-型(1+u)-QTコードの構造的性質を分析し、その最小レーマン距離の下界を導出すること。
• グレイ写像を用いて、これらの(1+u)-QTコードから$F_2$ 上の良い線形コードを構成すること。
• $A_1$、$A_2$、$B$-型コードの明示的構成と生成集合を、多項式イデアルとモジュール同型を用いて提示すること。
• グレイ等長写像を介して、構成されたコードが$F_2$-線形コードにおいて最適または準最適なパrametersを達成することを示すこと。

提案手法

• 環$R = F_2 + uF_2$を用い、$u^2 = 0$を満たし、コードを$S_n^l = R[x]/(x^n - (1+u))^l$ 上の$R[x]$-部分モジュールとしてモデル化する。
• 同型写像$\rho: R^N \to S_n^l$を適用し、1生成子型(1+u)-QTコードを$C = (f_0(x), \dots, f_{l-1}(x))$（$f_j(x) \in S_n$）として表現する。
• モジュール同型写像$\psi_i$を用いて$C$を個々の$(1+u)$-循環コード$S_n$に射影し、$C$を$A_1$、$A_2$、または$B$型に分類する。
• GCDおよび多項式除法を用いて最小生成集合を導出する：$A_1$型では、$S_1 = \{G, xG, \dots, x^{r-1}G\}$ および $S_2 = \{F, xF, \dots, x^{n-r-1}F\}$ で、$F = \{uf_0, \dots, uf_{l-1}\}$ となる。
• $A_2$-型コードでは、条件$\gcd(f_i, (x^n-1)/g) = 1$のもとで、生成集合が$\{G, xG, \dots, x^{r-1}G\}$であることを証明する。ここで$G = (ugf_0, \dots, ugf_{l-1})$。
• グレイ写像$\phi$を適用し、$R$ 上のコードを二進線形コードに変換し、レーマン距離をハミング距離に保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+u-準巡回コードの3種類の1生成子型について、$F_2 + uF_2$ 上の最小生成集合は何か？
• RQ2 $A_2$-型(1+u)-QTコードの最小レーマン距離を下からどのように評価できるか？
• RQ3 1+u-準巡回コードが$F_2 + uF_2$ 上に存在する場合、グレイ写像を介して$F_2$ 上の最適または準最適な線形コードを生成できるか？
• RQ4 生成集合が最小かつ線形独立であることを保証する構造的条件は何か？
• RQ5 生成多項式$g(x)$、$f_i(x)$、$h(x)$ の代数的性質が、コードのサイズと最小距離にどのように影響するか？

主な発見

• 1生成子型$A_1$-型(1+u)-QTコードの最小生成集合は$S_1 \cup S_2$であり、$S_1 = \{G, xG, \dots, x^{r-1}G\}$、$S_2 = \{F, xF, \dots, x^{n-r-1}F\}$、$r = \deg h$、$h = (x^n - 1)/g$。
• $A_2$-型コードでは、最小生成集合は$\{G, xG, \dots, x^{r-1}G\}$であり、$G = (ugf_0, \dots, ugf_{l-1})$、かつすべての$i$について$\gcd(f_i, (x^n-1)/g) = 1$。
• $A_2$-型コードの最小レーマン距離は$d_L(C) \geq l \cdot d_L(\widetilde{C})$を満たし、ここで$\widetilde{C} = (ug)$であり、例では等号が成立する。
• $n=3$、$l=2$、$g_0 = x+1$、$g_1 = x^2+1$の$A_1$-型コードは、グレイ写像を経て$[12,5,4]$の$F_2$上線形コードを生成し、これは最適である。
• $n=3$、$l=3$、$g=x+1$、$f_0 = x^3+x+1$、$f_1 = x^3+x^2+1$、$f_2 = 1$の$A_2$-型コードは、$[18,2,12]$の$F_2$上線形コードを生成し、これは最適である。
• $n=9$、$l=2$、$g=(x+1)(x^6+x^3+1)$、$q_0=x$、$q_1=x+x^2$の$B$-型コードは、グレイ写像を経て$[36,10,8]$の$F_2$上線形コードを生成する。