[論文レビュー] One level density of low-lying zeros of quadratic and quartic Hecke $L$-functions

Peng Gao, Liangyi Zhao|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 34被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、ガウス整数体 $\mathbb{Q}(i)$ 上の二次および四次ヘッケ $L$-関数の低レベル零点について、一重密度の結果を確立する。2次元のポアソン和分公式および指標和の推定を用いて、少なくとも94.27%の二次族の元および5%の四次族の元が中心点で消失しないことを証明し、これらの族がシンプレクティック対称性の枠組みにおいてカッツ＝サルナックの密度予想を支持する。

ABSTRACT

In this paper, we prove some one level density results for the low-lying zeros of famliies of quadratic and quartic Hecke $L$-functions of the Gaussian field. As corollaries, we deduce that, respectively, at least $94.27 \%$ and $5\%$ of the members of the quadratic family and the quartic family do not vanish at the central point.

研究の動機と目的

• ガウス体上での二次および四次ヘッケ $L$-関数族へのカッツ＝サルナックの密度予想の拡張を図ること。
• これらの族における低レベル零点の分布を、一つの密度解析を用いて特定すること。
• 各族において正の割合の $L$-関数が中心点で消失しないことを確立すること。
• 高次元のポアソン和分公式を応用して、指標和の推定を改善し、密度式におけるテスト関数の台を拡張すること。
• これらの族がランダム行列理論の予測に一致するシンプレクティック対称性を示していることを確認すること。

提案手法

• ガウス整数環 $\mathbb{Z}[i]$ における素イデアルへの和への変換のため、明示的公式を用いる。
• $\mathbb{Z}[i]$ 上での2次元のポアソン和分公式を適用し、四次および二次剰余記号を含む指標和を変換・評価する。
• 滑らかな切り捨て関数とメリン変換を用いて、密度トレース公式における振動項を扱う重み付き和を採用する。
• 部分和分および $\mathbb{Z}[i]$ 内のイデアル上での指数和の評価を用いて、指標和 $S_M(X,Y;\hat{\phi},\Phi)$ を推定する。
• ポアソン和分公式からの双対格子構造を用いて、指標和の長さを短縮し、誤差項の制御を改善する。
• $\tilde{W}$-関数および滑らかな重み関数を用いて、和を局所化し、パrameter $X$ に一様に誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス体 $\mathbb{Q}(i)$ 上の二次および四次ヘッケ $L$-関数族における低レベル零点の一つの密度は何か？
• RQ2 これらの $L$-関数の零点分布は、シンプレクティック群 $\mathrm{USp}$ のランダム行列理論の予測とどの程度一致するか？
• RQ3 これらの族に属する $L$-関数の何パーセントが中心的臨界点で消失しないか？
• RQ4 高次元のポアソン和分公式は、一つの密度結果におけるテスト関数のフーリエ変換の台をどのように改善できるか？
• RQ5 一般化リーマン予想を仮定せずに、これらの族における一つの密度に対して非仮定的結果を得ることは可能か？

主な発見

• ガウス体 $\mathbb{Q}(i)$ 上の二次ヘッケ $L$-関数族における低レベル零点の一つの密度は、$X \to \infty$ のときシンプレクティック密度核 $W_{\mathrm{USp}}(x) = 1 - \frac{\sin(2\pi x)}{2\pi x}$ に収束し、シンプレクティック対称性が確認される。
• 四次ヘッケ $L$-関数族に対しても、同様に一つの密度が同じシンプレクティック核に収束し、同じ対称性型であることが示される。
• 二次族の少なくとも94.27%の元が中心点で消失しないことが、一つの密度結果から導かれる。
• 四次族の少なくとも5%の元が中心点で消失しないことが、一つの密度解析の系として得られる。
• 改善された指標和の推定を用いて、二次族では密度式におけるテスト関数のフーリエ変換の台が $(-2,2)$ に拡張され、四次族に対しても同様の範囲が得られる。
• 誤差項が $U = \log \log X$ および $Z = \log^5 X$ のとき $o(X \log X)$ であることが示され、期待される密度への収束が保証される。