[論文レビュー] One Mass-Radius relation for Planets, White Dwarfs and Neutron Stars

D. Lynden–Bell, J. P. O'Dwyer|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2001

Stellar, planetary, and galactic studies被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、電子degeneracy圧力、重力崩壊、および基本定数に基づき、冷たい天体（惑星、白色矮星、中性子星）の統一された質量-半径関係を提案する。非相対論的および相対論的極限の間の補間を用いて単一の式を導出し、非相対論的領域では半径が $ R \propto M^{-4/3} $ に比例し、チャンドラセカール限界を超えると急激に収縮することを示している。最大半径を示す惑星の質量は木星質量の3.3倍である。

ABSTRACT

We produce the simple formula for the radius R of a cold body of mass M, (4 pi rho/3)^{1/3} R = I.M^{1/3} / [1+ (M/Mp)^{2/3}], where I is one for white dwarfs with non-relativistic electrons, but depends on the ratio of the total mass to Mch, the Chandrasekhar mass. Mp is the mass of the planet of maximum radius and rho is the density of the material at low pressure. Mp and rho are derived in terms of fundamental constants and Mp/Mch is basically given by the three halves power of the fine structure constant. The aim of the discussion is to emphasise physical principles and to connect the masses derived to the fundamental constants, so mathematical niceties are sacrificed and replaced by interpolations between simple exact limits.

研究の動機と目的

• 惑星、白色矮星、中性子星といった多様な冷たい天体の質量-半径関係を、統一された物理的原理によって記述する単一で簡潔な式を導出すること。
• チャンドラセカール限界や最大半径を示す惑星の質量といった重要な質量を、特に微細構造定数を含む基本定数の形で表現すること。
• 数学的厳密性よりも物理的直観を重視し、正確な極限状態の間の補間を用いて、主要な領域で精度を保つこと。
• 巨視的な天体的性質と、特に電子degeneracy圧力とパウリの排他原理に基づく量子力学的基礎を結びつけること。

提案手法

• モデルはバーリングの定理と電子degeneracy圧力を用い、非相対論的領域では $ p \propto \rho^{5/3} $、相対論的領域では $ p \propto \rho^{4/3} $ という多相指数状態方程式を仮定する。
• 無次元変数 $ y = (M/M_p)^{1/3} $ を導入し、$ M_p $ は最大半径を示す惑星の質量を表す。相対論的補正因子 $ J = \sqrt{1 - y^4/y_{ch}^4} $ を導入し、$ y_{ch} = (M_{ch}/M_p)^{1/3} $ とする。
• 半径の式は $ \left(\frac{4}{3}\pi\rho_0\right)^{1/3}R = M_p^{1/3} \frac{y}{1+y^2} \cdot \frac{J}{1 + \frac{3}{4}(1 - \sqrt{J})} $ として導出され、$ \rho_0 $ は土星の半径にフィットさせるために定義される。
• 式は非相対論的（惑星的）と相対論的（白色矮星的）領域の間を補間し、中性子星については $ m_e $ を $ m_n $ に置き換え、$ \rho_0 \to (m_n/m_e)^3 \rho_0 $ として調整する。
• 観測データ（例：土星、木星、白色矮星、1個の中性子星）を用いて $ \rho_0 $ と $ M_p $ をキャリブレーションし、$ \rho_0 = 0.419~\text{g cm}^{-3} $ および $ M_p = 6.24 \times 10^{30}~\text{g} $ を得る。
• チャンドラセカール限界は $ M_{ch} \approx 5.82 M_\odot $ と推定されるが、一般相対性理論および中性子相互作用の補正により、実際には 2～3.6 $ M_\odot $ に低下する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じ物理的原理を用いて、惑星、白色矮星、中性子星を統一的に記述する単一の質量-半径関係をどのように得られるか？
• RQ2 最大半径を示す惑星の起源は何か？その質量と半径は基本定数とどのように関係するか？
• RQ3 非相対論的から相対論的電子degeneracy圧力への遷移が、質量-半径関係にどのように影響を与えるか？
• RQ4 微細構造定数が比 $ M_p / M_{ch} $ に果たす役割は何か？この比は根本的な物理学とどのように関連するか？
• RQ5 同じ質量の白色矮星と比較して、中性子星の半径はどのように異なるか？また、現実の状態方程式を反映するにはどのような補正が必要か？

主な発見

• 最大半径を示す惑星の質量は木星質量の3.3倍（約 $ 6.24 \times 10^{30}~\text{g} $）であり、半径は $ 8.65 \times 10^9~\text{cm} $ に達し、木星の半径 $ 7.0 \times 10^9~\text{cm} $ を上回る。
• 土星の半径にフィットするための $ \beta = 1.137 $ を用い、$ \rho_0 = 0.419~\text{g cm}^{-3} $ を得る。これは低圧力の水素・ヘリウムの密度と整合的である。
• 非相対論的物体では半径が $ R \propto M^{-4/3} $ に比例し、褐色矮星および白色矮星の系列と一致する。
• チャンドラセカール限界を超えると、相対論的degeneracy圧力のため半径が急激に収縮し、平衡状態は存在しない。
• 中性子星は、同じ質量の電子支持白色矮星と比較して、半径が $ m_e/m_n \approx 1/1836 $ の因子だけ小さくなると予測される。
• 比 $ M_p / M_{ch} $ は $ \alpha^{-3/2} $ に比例する。ここで $ \alpha $ は微細構造定数であり、巨視的な天体的質量と基本定数を結ぶ。