[論文レビュー] One-parameter representations on C*-algebras

Johan Kustermans|ArXiv.org|Jul 28, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、C*-代数上の強い連続性を満たす一パラメータ群のC*-自己同型群をその乗法的代数へ厳密に解析接続することを確立し、各自己同型が乗法的代数上の一意的な厳密連続一パラメータ群に拡張されることを証明する。主な貢献は、半乗法的性と乗法的代数の技法を用いて、解析接続の厳密閉性を達成したことにある。応用は量子群およびモジュラー理論に及ぶ。

ABSTRACT

Strongly continuous one-parameter representations on C*-algebras and their extension to the multiplier algebra are investigated. We give also a proof of the Stone theorem on Hilbert C*-modules and look into some related problems.

研究の動機と目的

• C*-代数上の強い連続性を満たす一パラメータ群のC*-自己同型群をその乗法的代数へ拡張すること。
• このような群の乗法的代数上での解析接続の厳密閉性を確立すること。
• ストーンの定理をHilbert C*-加群へ一般化すること。
• C*-代数的量子群におけるモジュラー群とアンチポードを研究するための枠組みを提供すること。
• 特に非退化*-準同型および完全正値写像を含む、C*-代数間の厳密線形写像を拡張するための道具を開発すること。

提案手法

• 乗法的代数 M(A) 上の厳密位相を用いて、一パラメータ群の拡張を定義・分析する。
• 有界集合上で厳密連続である概念を適用し、A から M(A) 上の一意的自己同型 α̅ₜ への自己同型 αₜ の拡張を行う。
• 先行研究における双対性公理の問題を回避するために、自己同型の半乗法的性を用いる。
• A 内の近似単位 (eₖ) を用いて、x ∈ M(A) へ厳密に収束するネット (xₑₖ) を構成し、写像の拡張を可能にする。
• 厳密位相における閉グラフ定理を適用し、拡張写像が厳密閉であることを証明する。
• Hilbert C*-加群および正規作用素の理論を活用し、ストーンの定理を加群設定へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数上の強い連続性を満たす一パラメータ群のC*-自己同型群は、すべてその乗法的代数上の一意的な厳密連続一パラメータ群に拡張可能か？
• RQ2 このような拡張群の解析接続の厳密閉性を保証する条件は何か？
• RQ3 ストーンの定理はどのようにHilbert C*-加群へ一般化可能か？
• RQ4 標準的な双対性公理が成立しない状況で、自己同型の半乗法的性は拡張プロセスをどのように支援するか？
• RQ5 完全正値写像および*-準同型の厳密拡張は、テンソル積においてどのように振る舞うか？

主な発見

• C*-代数 A 上の強い連続性を満たす一パラメータ群 α の任意のC*-自己同型群は、乗法的代数 M(A) 上の一意的な厳密連続一パラメータ群 α̅ に拡張可能である。
• α̅ の複素時間 z ∈ ℂ への解析接続は存在し、M(A) 内で定義された線形写像 α̅_z を与える。厳密閉性が中心的な技術的結果である。
• 任意の有界集合上で厳密連続である厳密線形写像 ρ: A → M(B) に対して、拡張写像 ρ ↦ ρ̅ は有界であり、‖ρ̅‖ = ‖ρ‖ を満たす。
• C*-代数間の厳密線形写像の合成は厳密連続性を保ち、ρ∘θ の拡張はそれらの拡張の合成として与えられる。
• 任意の非退化*'-準同型 π: A → M(B) は一意的に M(A) へ拡張可能であり、任意の a ∈ M(A), b ∈ A に対して π̅(a)π̅(b) = π̅(ab) を満たす。
• 2つの厳密線形写像のテンソル積は厳密連続であり、ρ⊗θ の拡張は、任意の x ∈ M(A), y ∈ M(B) に対して (ρ⊗θ)(x⊗y) = ρ̅(x)⊗θ̅(y) を満たす。