[論文レビュー] One-point extensions of locally compact paracompact spaces

M. R. Koushesh|arXiv (Cornell University)|May 31, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクトでパラコンパクトな空間の一点拡大の順序構造を検討し、特にČech完全でかつ第一可算的局所-/mathcal{P} 拡大に焦点を当てる。出成長 $eta X \setminus X$ の部分空間とこれらの拡大の剰余空間との間に位相同型が確立され、特定の条件下で拡大の部分順序が零集合のラティスと順序同型であることを示している。主な結果は、これらの二つの拡大クラスの順序型が同型であるための必要十分条件が $X$ が $\sigma$-コンパクトであることである。

ABSTRACT

A space $Y$ is called an {\em extension} of a space $X$ if $Y$ contains $X$ as a dense subspace. Two extensions of $X$ are said to be {\em equivalent} if there is a homeomorphism between them which fixes $X$ point-wise. For two (equivalence classes of) extensions $Y$ and $Y'$ of $X$ let $Y\leq Y'$ if there is a continuous function of $Y'$ into $Y$ which fixes $X$ point-wise. An extension $Y$ of $X$ is called a {\em one-point extension} if $Y\backslash X$ is a singleton. An extension $Y$ of $X$ is called {\em first-countable} if $Y$ is first-countable at points of $Y\backslash X$. Let ${\mathcal P}$ be a topological property. An extension $Y$ of $X$ is called a {\em ${\mathcal P}$-extension} if it has ${\mathcal P}$. In this article, for a given locally compact paracompact space $X$, we consider the two classes of one-point Čech-complete ${\mathcal P}$-extensions of $X$ and one-point first-countable locally-${\mathcal P}$ extensions of $X$, and we study their order-structures, by relating them to the topology of a certain subspace of the outgrowth $βX\backslash X$. Here ${\mathcal P}$ is subject to some requirements and include $σ$-compactness and the Lindelöf property as special cases.

研究の動機と目的

• 局所コンパクトパラコンパクト空間 $X$ の一点拡大としての、Čech完全な $\mathcal{P}$-拡大および第一可算的局所-$\mathcal{P}$ 拡大の順序構造を分析すること。
• このような拡大の部分順序が、出成長 $\beta X \setminus X$ の部分空間の位相にどのように関係するかを明らかにすること。
• これらの二つの拡大クラスの部分順序集合が順序同型である条件を同定すること。
• これらの拡大クラスの順序型を区別する際に $\sigma$-コンパクト性が果たす役割を調査すること。

提案手法

• 本稿は Stone-Čechコンパクト化 $\beta X$ を用い、拡大構造の位相的不変量として出成長 $\beta X \setminus X$ を考察する。
• 二種類の拡大クラスを定義する：一点 $\mathcal{P}$-拡大（Čech完全）および一点局所-$\mathcal{P}$ 拡大（剰余点で第一可算的）。
• 拡大の集合から $X^* = \beta X \setminus X$ の零集合のラティスへの写像 $\Theta_X$ を構成し、順序構造を保存する。
• 零集合および $\beta X$ 内の閉開集合の性質を応用して、拡大が $\leq$ 順序に関して同値または比較可能である条件を特徴付ける。
• Tietze-Urysohnの定理を用いて、$X$ が $\sigma$-コンパクトである場合に、零集合を $\beta X$ に拡張する。
• 拡大クラスと $X^*$ の空でない零集合との間で $\Theta_X$ が全単射であり、特定の条件下で順序同型を定めることが証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトパラコンパクト空間 $X$ の一点Čech完全 $\mathcal{P}$-拡大と一点第一可算的局所-$\mathcal{P}$ 拡大の部分順序集合が順序同型であるのはいつか？
• RQ2 $\beta X \setminus X$ の位相が、$X$ の一点拡大の順序構造をどのように決定するか？
• RQ3 $\sigma$-コンパクト性は、これらの二つの拡大クラスの順序型を区別する際に果たす役割は何か？
• RQ4 $\mathcal{P}$ にどのような条件を課すと、二つの拡大クラスが部分順序集合として同型になるか？
• RQ5 一点拡大の剰余空間は、$\beta X \setminus X$ 内の零集合によって特徴付けられるか？

主な発見

• $({\mathscr{E}}^{\,C}_{{\mathcal{P}}}(X),\leq)$ と $({\mathscr{E}}^{\,*}_{\,local-{\mathcal{P}}}(X),\leq)$ の部分順序集合は、$X$ が $\sigma$-コンパクトであることと同値に順序同型である。
• $X$ が $\sigma$-コンパクトであるとき、写像 $\Theta_X$ は拡大の集合と $X^* = \beta X \setminus X$ の空でない零集合の間で全単射を定め、順序 $\leq$ を保存する。
• 非 $\sigma$-コンパクトな $X$ に対しては、$\Theta_X({\mathscr{E}}^{\,C}_{{\mathcal{P}}}(X))$ は有限交差に関して閉じているが、一方 $\Theta_X({\mathscr{E}}^{\,*}_{\,local-{\mathcal{P}}}(X))$ は互いに交わらない零集合を含むため、二つのクラスは順序同型ではない。
• 一点拡大の剰余空間は $\beta X \setminus X$ の部分空間と位相同型であり、これらの部分空間の構造が拡大の順序型を決定する。
• Lindelöf性および線形Lindelöf性は、$\mathcal{P}$ に必要な条件を満たし、局所コンパクトパラコンパクト空間の文脈では $\sigma$-コンパクト性と同値である。
• 本稿は、$X$ が $\sigma$-コンパクトであるとき $\sigma X = \beta X$ であることを確認しており、これは順序同型結果の根幹をなす。