[論文レビュー] One Ring to Rule Them All: Certifiably Robust Geometric Perception with Outliers

Heng Yang, Luca Carlone|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2020

Robotics and Sensor-Based Localization被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、丸められた最小二乗法（TLS）推定を多項式最適化に再定式化することにより、高い外れ値率下でも証明可能に頑健な幾何学的推定のための、初めての一般的で実用的なフレームワークを提示する。Lasserreのモーメント緩和と基底削減、Douglas-Rachford分割を用いた双対証明により、大規模なスケールでグローバル最適性の保証を達成し、100測定値までに及ぶスケーラビリティ、精度、頑健性においてヒューリスティクスおよび先行の緩和手法を凌駕する。

ABSTRACT

We propose the first general and practical framework to design certifiable algorithms for robust geometric perception in the presence of a large amount of outliers. We investigate the use of a truncated least squares (TLS) cost function, which is known to be robust to outliers, but leads to hard, nonconvex, and nonsmooth optimization problems. Our first contribution is to show that -for a broad class of geometric perception problems- TLS estimation can be reformulated as an optimization over the ring of polynomials and Lasserre's hierarchy of convex moment relaxations is empirically tight at the minimum relaxation order (i.e., certifiably obtains the global minimum of the nonconvex TLS problem). Our second contribution is to exploit the structural sparsity of the objective and constraint polynomials and leverage basis reduction to significantly reduce the size of the semidefinite program (SDP) resulting from the moment relaxation, without compromising its tightness. Our third contribution is to develop scalable dual optimality certifiers from the lens of sums-of-squares (SOS) relaxation, that can compute the suboptimality gap and possibly certify global optimality of any candidate solution (e.g., returned by fast heuristics such as RANSAC or graduated non-convexity). Our dual certifiers leverage Douglas-Rachford Splitting to solve a convex feasibility SDP. Numerical experiments across different perception problems, including single rotation averaging, shape alignment, 3D point cloud and mesh registration, and high-integrity satellite pose estimation, demonstrate the tightness of our relaxations, the correctness of the certification, and the scalability of the proposed dual certifiers to large problems, beyond the reach of current SDP solvers.

研究の動機と目的

• 高い外れ値率下における一般的でスケーラブルかつ証明可能なアルゴリズムの欠如に応えること。
• 丸められた最小二乗法（TLS）推定における非凸性、非滑らかさ、大規模計算の課題を克服すること。
• 外れ値を伴う幾何学的推定問題に対してグローバル最適性の保証を提供するフレームワークを開発し、安全を要する応用を可能にすること。
• 双対証明子とスパarsityの活用により、標準的なSDPソルバーの到達できないスケールまでスケーラビリティを拡張すること。
• ヒューリスティックな解（例：RANSAC や GNC）の正しさを数学的に厳密に検証する手法を提供すること。

提案手法

• 多項式環上での多項式最適化として、TLSに基づく幾何学的推定問題を再定式化する。
• 多項式定式化にLasserreの凸モーメント緩和階層を適用し、最小の緩和次数で経験的にタイトな境界を示すことを証明する。
• 多項式目的関数および制約における構造的スパarsityを活用する基底削減技術を導入し、半定値計画（SDP）のサイズを著しく削減しつつ、緩和のタイトさを損なわない。
• 和の平方（SOS）緩和とDouglas-Rachford分割を用いた双対最適性証明子を開発し、凸可能性のSDPを解くことで、グローバル最適性のスケーラブルな検証を可能にする。
• 双対証明子からの双対ギャップを活用し、候補解の部分最適性バウンズを計算し、グローバル最適性の検証を行う。
• 高速なヒューリスティクス（例：RANSAC, GNC）とフレームワークを統合し、その解の事後証明を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何学的推定における丸められた最小二乗法（TLS）推定は、証明可能な緩和に適した多項式最適化問題に再定式化可能か？
• RQ2 外れ値を伴うTLS問題に対して、Lasserreのモーメント緩和階層は最小の緩和次数でタイトな境界をもたらすか？
• RQ3 多項式定式化における構造的スパarsityは、基底削減によりSDPサイズの削減が可能であり、同時に緩和のタイトさを維持できるか？
• RQ4 SOS緩和とDouglas-Rachford分割に基づく双対証明子は、標準的なSDPソルバーが失敗する大規模な幾何学的推定問題（例：N = 100）に対してもスケーラブルか？
• RQ5 提案された双対証明子は、悪意ある外れ値下でも、グローバル最適解を正しく特定し、部分最適解を検出できるか？

主な発見

• Lasserreの階層による最小緩和次数における提案されたプライマル緩和は、経験的にタイトであり、TLSコスト関数を伴う広範な幾何学的推定問題のグローバル最適性を証明可能に保証する。
• 基底削減によりSDPサイズが著しく削減され、100測定値に達する問題の解法が可能となり、標準的なSDPソルバーの到達できない領域をカバーする。
• Douglas-Rachford分割を用いた双対証明子はスケーラビリティを達成し、グローバル最適性を正しく証明する。解の正しさ検証において、ヒューリスティクス手法（例：KS検定）とは異なり、誤検出（偽陽性・偽陰性）がゼロである。
• 単一回転平均化において、提案手法はGNC（ヒューリスティクス）およびチャーディナルスパースSDPベースラインを、外れ値率が73％までに及ぶ範囲で精度と頑健性において上回る。
• 悪意あるモデル下でも50％の外れ値率においてフレームワークはタイトを保ち、真の解が最も一貫性のない場合でもグローバル最適性を証明可能である。
• 3次元点群登録、メッシュアライメント、人工衛星ポーズ推定における数値実験により、認証の正しさと現実的問題サイズへのスケーラビリティが確認された。