[論文レビュー] One-Sided Projections on C*-algebras

David P. Blecher, Roger R. Smith+1 more|ArXiv.org|Mar 7, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、C*-代数上の完全左M射影の同値な特徴づけを確立し、それらが乗法器代数内の直交射影による左乗算であることを示している。主な貢献は、C*-代数において、古典的なM射影の性質（行列拡張への等長的拡張など）が、このような写像を完全に特徴づけることを証明したことである。また、フォンノイマン代数の予対象には、非自明な完全片側M-イデアルが存在しないことも示している。

ABSTRACT

In [BEZ] the notion of a complete one-sided M-ideal for an operator space X was introduced as a generalization of Alfsen and Effros' notion of an M-ideal for a Banach space [AE72]. In particular, various equivalent formulations of complete one-sided M-projections were given. In this paper, some sharper equivalent formulations are given in the special situation that $X = \mathcal{A}$, a $C^*$-algebra (in which case the complete left M-projections are simply left multiplication on $\mathcal{A}$ by a fixed orthogonal projection in $\mathcal{A}$ or its multiplier algebra). The proof of the first equivalence makes use of a technique which is of interest in its own right--a way of ``solving'' multi-linear equations in von Neumann algebras. This technique is also applied to show that preduals of von Neumann algebras have no nontrivial complete one-sided M-ideals. In addition, we show that in a $C^*$-algebra, the intersection of finitely many complete one-sided M-summands need not be a complete one-sided M-summand, unlike the classical situation.

研究の動機と目的

• 完全左M射影を特徴づける複数の同値条件を用いて、C*-代数上の完全左M射影を特徴づけること。
• 完全等長性と収縮性を用いて、非可換作用素空間設定への古典的M射影の概念を拡張すること。
• フォンノイマン代数の予対象に非自明な完全片側M-イデアルが存在しないことを示すこと。
• C*-代数における有限個の完全片側M和分量の共通部分が、完全片側M和分量でないことがあること（古典的状況とは異なり）を示すこと。
• フォンノイマン代数における多変数作用素方程式を解くための新規技術を用いて、作用素空間上の左乗算子と完全左M射影の関係を明確化すること。

提案手法

• C*-代数A上の完全左M射影を特徴づける6つの条件の同値性を確立し、C₂(A)への等長埋め込みおよび行列拡張の収縮性を含む。
• フォンノイマン代数における多変数作用素方程式を解くための新規技術を導入し、条件の同値性の証明およびM-イデアルの解析に用いた。
• 解法技術を応用して、フォンノイマン代数の予対象に非自明な完全片側M-イデアルが存在しないことを示した。
• ヒルベルト空間上の射影を用いた反例構成により、C*-代数における2つの完全右M和分量の共通部分が完全右M和分量でないことがあることを示した。
• P, Q, およびランク1射影Eₙで生成される単位的C*-代数A ⊂ B(H)を構成し、P ∧ Q ∉ A となるようにした。これにより、古典的M和分量の共通部分性の不成立を示した。
• パウゼン系の構成を用いて、一般の作用素空間を非単位的作用素系に埋め込み、ヴェルナーの左乗算子に関する先行結果の適用を可能にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数上の完全左M射影を特徴づける完全な同値条件の集合は何か？
• RQ2 ∥x∥ = max{∥Px∥, ∥x−Px∥} で与えられるM射影の古典的特徴づけは、非可換かつ完全等長的設定に一般化可能か？
• RQ3 フォンノイマン代数の予対象には非自明な完全片側M-イデアルが存在するか？
• RQ4 C*-代数における有限個の完全片側M和分量の共通部分は、常に完全片側M和分量のままであるか？
• RQ5 作用素空間上の左乗算子は、C*-代数の特別な場合において、完全左M射影とどのように関係するか？

主な発見

• C*-代数A上の完全左M射影は、Aの乗法器代数M(A)内の直交射影eによる左乗算と同値である。
• 写像x ↦ [Px; x−Px] がAからC₂(A)への完全等長写像であることは、Pが完全左M射影であることと同値である。
• 写像[x; y] ↦ [Px; y] がC₂(A)上で完全収縮的であることは、Pが完全左M射影であることと同値である。
• フォンノイマン代数の予対象には非自明な完全片側M-イデアルが存在せず、多変数方程式の解法技術により示された。
• C*-代数における2つの完全右M和分量の共通部分は、射影が可換であっても完全右M和分量でないことがある。
• ある単位的C*-代数Aとその射影P, Q ∈ Aが存在し、P ∧ Q ∉ A かつ (P A) ∩ (Q A) ≠ r A を満たすような射影r ∈ Aが存在しない。これにより、古典的M和分量の共通部分性の不成立が示された。