[論文レビュー] One-sided shift spaces over infinite alphabets

William Ott, Mark Tomforde+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2012

semigroups and automata theory被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、アルファベットの一点コンパactificationを用いてコンパクト性を保証することで、無限アルファベット上の片側シフト空間のための新しい枠組みを導入する。これは、古典的記号的力学系技法の適用を可能にする。3つのシフト自己同型のクラスを定義し、有限型シフトの一般化を実現する。また、行有限シフト空間ではスライディングブロック符号の特徴づけが成り立つことを証明する。主な応用として、可算有向グラフのエッジシフトが共役であるならば、それらに付随するC*-代数および群ガーディアンが同型であることを確立する。

ABSTRACT

We define a notion of (one-sided) shift spaces over infinite alphabets. Unlike many previous approaches to shift spaces over countable alphabets, our shift spaces are compact Hausdorff spaces. We examine shift morphisms between these shift spaces, and identify three distinct classes that generalize the shifts of finite type. We show that when our shift spaces satisfy a property that we call "row-finite", then shift morphisms on them may be identified with sliding block codes. As applications, we show that if two (possibly infinite) directed graphs have edge shifts that are conjugate, then the groupoids of the graphs are isomorphic, and the C*-algebras of the graphs are isomorphic.

研究の動機と目的

• 古典的シフト空間が無限アルファベット上ではコンパクト性に欠けるため、標準的な力学系技法の適用が妨げられるという問題を克服すること。
• コンパクトハウスドルフとなる新しい1方向シフト空間のクラスを、記号的力学系に不可欠な位相的構造を保ちながら、無限アルファベット上に定義すること。
• 3つの異なるクラスのシフト自己同型を用いて、無限アルファベット上での有限型シフトの概念を一般化すること。
• 行有限の場合に、シフト自己同型とスライディングブロック符号の間の対応関係を確立し、古典的結果を無限設定に拡張すること。
• この枠組みを可算有向グラフのC*-代数および群ガーディアンに適用し、エッジシフトの共役性から同型不変量が得られることを証明すること。

提案手法

• 全シフト空間を $\mathcal{A}_\infty = \mathcal{A} \cup \{\infty\}$ による一点コンパクト化を用いて再定義し、積空間 $X_\mathcal{A} = \mathcal{A}_\infty^\mathbb{N}$ がコンパクトとなるようにする。
• $\infty$ を含む列は $\mathcal{A}$ 上の有限列と解釈され、無限列および有限列の空間にコンパクト位相が構成可能となる。
• シフト空間は $X_\mathcal{A}$ の閉集合かつ $\sigma$-不変な部分集合として定義され、全シフトからのコンパクト性を引き継ぐ。
• 有限の禁止パターンとその閉包性に基づいて、有限型シフトを一般化する3つのシフト自己同型のクラスを導入する。
• 行有限シフト空間では、シフト自己同型が正確にスライディングブロック符号として表現可能であることが示され、有限アルファベットの結果が無限設定に拡張される。
• この枠組みを有向グラフに適用：エッジシフトの共役性から、それらに付随する $C^*$-代数および群ガーディアンが同型であることが示され、高次ブロックグラフおよび $1$-ブロック共役を用いて明示的な同型写像が構成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な積位相が非コンパクトであるため、無限アルファベット上の片側シフト空間にコンパクト位相を定義することは可能か？
• RQ2 古典的有限型シフト理論を、無限アルファベット上に、主要な構造的性質を保ちながら一般化することは可能か？
• RQ3 無限アルファベット上のシフト自己同型がスライディングブロック符号に対応するための条件は何か？
• RQ4 有向グラフのエッジシフトの共役性によって、どのような不変量が保存されるか？
• RQ5 可算有向グラフのエッジシフトが共役であるならば、それらに付随する $C^*$-代数および群ガーディアンが同型であると示せるか？

主な発見

• 無限アルファベット上の全シフト空間は、アルファベットの一点コンパクト化を用いて再定義され、コンパクトハウスドルフ空間が得られる。
• このコンパクト空間の閉集合かつ $\sigma$-不変な部分集合として定義されるシフト空間は、自身もコンパクトであるため、古典的力学系手法の適用が可能になる。
• 有限型シフトの概念を無限アルファベットに一般化する3つの明確に区別されたシフト自己同型のクラスが同定された。
• 行有限の場合、シフト自己同型は正確にスライディングブロック符号として表現可能であり、有限アルファベットの特徴づけが無限設定に拡張される。
• 2つの可算有向グラフのエッジシフトが共役であるならば、それらに付随する $C^*$-代数は同型であり、群ガーディアンも同型である。
• $C^*$-代数間の同型は、高次ブロックグラフおよび $1$-ブロック共役を用いて明示的に構成され、既知の結果が無限設定に一般化される。