[論文レビュー] One-Step Stochastic Processes Simulation Software Package

Ekaterina G. Eferina, Anna V. Korolkova+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2015

Aquatic and Environmental Studies参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本論文では、コンピュータ代数（FriCAS/Axiom）と数値言語（Fortran, Julia）を用いて、確率的1ステップ過程の構築と数値シミュレーションを自動化するソフトウェアパッケージを提示する。マスタ方程式の原則に従って確率的微分方程式（SDE）を生成し、確率的ルンゲ＝クッタ法を用いた数値解析を可能にする。捕食者・被捕食者モデルを用いた実証例では、確率性が1種の絶滅を引き起こし、決定論的モデルと整合性を示す。

ABSTRACT

Background. It is assumed that the introduction of stochastic in mathematical model makes it more adequate. But there is virtually no methods of coordinated (depended on structure of the system) stochastic introduction into deterministic models. Authors have improved the method of stochastic models construction for the class of one-step processes and illustrated by models of population dynamics. Population dynamics was chosen for study because its deterministic models were sufficiently well explored that allows to compare the results with already known ones. Purpose. To optimize the models creation as much as possible some routine operations should be automated. In this case, the process of drawing up the model equations can be algorithmized and implemented in the computer algebra system. Furthermore, on the basis of these results a set of programs for numerical experiment can be obtained. Method. The computer algebra system Axiom is used for analytical calculations implementation. To perform the numerical experiment FORTRAN and Julia languages are used. The method Runge--Kutta method for stochastic differential equations is used as numerical method. Results. The program compex for creating stochastic one-step processes models is constructed. Its application is illustrated by the predator-prey population dynamic system. Conclusions. Computer algebra systems are very convenient for the purposes of rapid prototyping in mathematical models design and analysis.

研究の動機と目的

• 最初の原則から確率的1ステップ過程モデルの構築を自動化し、SDEの手動導出を削減すること。
• 解析的モデル記述を実行可能なかなめの数値コードに変換するソフトウェアパイプラインの開発。
• コンピュータ代数システムと数値ソルバを統合し、集団動態分野における確率的モデルの効率的プロトタイピングを実現すること。
• 代表的な捕食者・被捕食者系における確率的および決定論的結果の比較を通じて、本手法の整合性を検証すること。

提案手法

• 本手法は、確率的モデリングの基盤としてマスタ方程式を用い、対応するフォッカー＝プランク方程式およびSDE表現を導出する。
• SDEのドリフト係数（A^i）および拡散係数（B^{ij}）を記号的に導出するために、コンピュータ代数システム（FriCAS、Axiomからフォーク）を用いる。
• SDE係数はテキストファイルとして出力され、数値ソルバ用のFortranおよびJuliaコードの生成に使用される。
• 行列b^i_αは、B^{ij}からLAPACKのDGESVDを用いて特異値分解により計算され、ノイズ構造が定義される。
• PythonスクリプトがSDE関数モジュールおよびメインプログラムのコード生成を自動化し、確率的ルンゲ＝クッタ法を統合する。
• 数値実験では、変数次数のルンゲ＝クッタスキームを用いてSDEを解き、負の個体数値を防ぐ制約を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1ステップ確率的過程の形式化を、コンピュータ代数を用いて体系的かつ自動化することは可能か？
• RQ2 マスタ方程式に基づくモデルを、高性能言語で実行可能なSDEコードに変換するソフトウェアパイプラインを開発できるか？
• RQ3 決定論的モデルと確率的モデルの間で、長期的挙動にどのような差異が生じるか？
• RQ4 内生的確率性の導入が、生態的モデルにおける種の持続可能性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• ソフトウェアパッケージは、マスタ方程式からSDE係数を効果的に自動導出でき、手動導出の負担を大幅に削減した。
• パラメータα=10, β=1.5, γ=8.5, δ=1.8の場合、確率的モデルでは被捕食者が最初に絶滅し、その後食物不足により捕食者も絶滅した。
• δ=0.5の場合、捕食者が絶滅するが、被捕食者個体数は急速に増加し、モデルの無制限な食物供給仮定と整合的であった。
• 数値シミュレーションにより、確率性が決定論的モデルに存在しない絶滅イベントを導入することが確認され、本手法の生物学的妥当性が裏付けられた。
• ソフトウェアパイプラインは、記号的表現から正しくFortranおよびJuliaコードを生成でき、効率的な数値実験を可能にした。