[論文レビュー] One-to-one correspondence between thermal structure factors and coupling constants of general bilinear Hamiltonians

Bruno Murta, J. Fernández‐Rossier|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2022

Quantum and electron transport phenomena参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限温度における一般の双一次量子スピンハミルトニアンにおいて、熱的スピンスピン構造因子と結合定数の間の一対一対応を確立している。これは、ギブス＝ボゴリューボフ不等式を用いてクインタニーヤの零温度定理を拡張したものであり、実験的または数値的な熱的相関関数からスピンハミルトニアンのパラメータを学習するための厳密な理論的基盤を提供する。

ABSTRACT

A theorem that establishes a one-to-one relation between zero-temperature static spin-spin correlators and coupling constants for a general class of quantum spin Hamiltonians bilinear in the spin operators has been recently established by J. Quintanilla, using an argument in the spirit of the Hohenberg-Kohn theorem in density functional theory. Quintanilla's theorem gives a firm theoretical foundation to quantum spin Hamiltonian learning using spin structure factors as input data. Here we extend the validity of the theorem in two directions. First, following the same approach as Mermin, the proof is extended to the case of finite-temperature spin structure factors, thus ensuring that the application of this theorem to experimental data is sound. Second, we note that this theorem applies to all types of Hamiltonians expressed as sums of bilinear operators, so that it can also relate the density-density correlators to the Coulomb matrix elements for interacting electrons in the lowest Landau level.

研究の動機と目的

• スピンハミルトニアンの学習に関するクインタニーヤの零温度定理を有限温度に一般化すること。
• 熱的スピン構造因子を量子多体モデル再構成の入力データとして用いる際の、厳密な数学的基盤を確立すること。
• 熱的相関関数が双一次ハミルトニアンにおける結合定数を一意に決定することを示し、写像の可逆性を保証すること。
• スピン系にとどまらず、最低ランダウ準位における相互作用電子系の密度-密度相関関数に対しても、この定理の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• ヘルムホルツ自由エネルギーをバウンドするためのギブス＝ボゴリューボフ不等式を用い、有限温度における変分原理を拡張する。
• 背理法（帰謫法）を適用し、二つの異なるハミルトニアンで同じ熱的相関関数が得られることから、結合定数が同一でない限り矛盾が生じることを示す。
• 有限温度におけるスピンスピン相関関数を熱的期待値として定義する：ρα,βij(W) = Tr(W Ŝαi Ŝβj)，ここでWは熱的密度行列である。
• β = 1/kBTおよび分配関数Zを用いて、熱的密度行列をW = (1/Z) Σn e^(-βEn) |Φn⟩⟨Φn| と定義する。
• クーロン行列要素を用いて記述される相互作用電子系を含む、一般の双一次ハミルトニアンへの写像の拡張を実施する。
• 無限温度では非局所相関関数が消えることから、この定理が有限温度でも成り立つことを検証し、有限温度においても写像が一対一であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限温度における双一次スピンハミルトニアンにおいて、熱的スピンスピン構造因子と結合定数の間に一対一対応が存在するか？
• RQ2 統計力学的原則を用いて、クインタニーヤの定理の有限温度への拡張を厳密に証明できるか？
• RQ3 物理的に妥当なモデルにおいて、熱的相関関数とハミルトニアンパラメータの間の写像が可逆的かつ一意的であるか？
• RQ4 この定理は、最低ランダウ準位における電子密度-密度相関関数のような他の双一次系に対しても、どの程度適用可能か？

主な発見

• 一般の双一次ハミルトニアンにおいて、有限温度におけるスピンスピン構造因子と結合定数の間の一対一対応が厳密に確立された。
• 証明はギブス＝ボゴリューボフ不等式と背理法に依拠しており、二つのハミルトニアンで同じ相関関数が得られることから、結合定数が同一でなければならないことを示している。
• すべての有限温度において写像は全単射であり、自由エネルギーの境界で等号が成り立つのは、ハミルトニアンが同一であるか、無限温度の場合に限る。
• 無限温度では、局所的⟨Ŝz_i Ŝz_i⟩相関関数のみが残り、ρzz_ii(T→∞) = S(S+1)/3 となるが、すべての非局所相関関数は消える。
• この定理はスピン系にとどまらず、最低ランダウ準位における相互作用電子系の密度-密度相関関数に対しても適用可能であり、それらをクーロン行列要素と結びつける。
• この結果は、神経散乱測定などの実験的熱的データから量子ハミルトニアンを学習する理論的基盤を提供する。