[論文レビュー] Online Algorithms for Machine Minimization

Nikhil R. Devanur, Konstantin Makarychev+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Optimization and Search Problems参考文献 34被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ユニット長のジョブに対する決定的オンラインマシン最小化問題を、$e$ の最適な競争比を達成するアルゴリズムを提示することで解決する。また、任意のジョブ長を許容する均一なデッドラインを持つ場合の定数競争比アルゴリズムを導入し、頂点重み付きマッチングへの新しい還元を用いて、オンラインスループット最大化のための確率的$rac{e}{e-1}$-競争比アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the online version of the machine minimization problem (introduced by Chuzhoy et al., FOCS 2004), where the goal is to schedule a set of jobs with release times, deadlines, and processing lengths on a minimum number of identical machines. Since the online problem has strong lower bounds if all the job parameters are arbitrary, we focus on jobs with uniform length. Our main result is a complete resolution of the deterministic complexity of this problem by showing that a competitive ratio of $e$ is achievable and optimal, thereby improving upon existing lower and upper bounds of 2.09 and 5.2 respectively. We also give a constant-competitive online algorithm for the case of uniform deadlines (but arbitrary job lengths); to the best of our knowledge, no such algorithm was known previously. Finally, we consider the complimentary problem of throughput maximization where the goal is to maximize the sum of weights of scheduled jobs on a fixed set of identical machines (introduced by Bar-Noy et al. STOC 1999). We give a randomized online algorithm for this problem with a competitive ratio of e/e-1; previous results achieved this bound only for the case of a single machine or in the limit of an infinite number of machines.

研究の動機と目的

• ユニット長ジョブにおけるオンラインマシン最小化の決定的競争比を解消し、既知の下界2.09と上界5.2の間のギャップを埋める。
• すべてのジョブが同一のデッドラインを持つが、処理長が任意であるというバージョンに対して、定数競争比アルゴリズムを開発すること。
• 固定マシン数の下でスループット最大化のための確率的オンラインアルゴリズムを提供し、$\frac{e}{e-1}$ の競争比を達成する。これは、従来は単一マシンまたは漸近的状況でのみ達成可能であった。
• ユニット長ジョブのオンラインマシン最小化問題に対して、$e$ の上界と下界を厳密に示し、タイトな境界を確立すること。
• オンラインスループット最大化問題を、競争比を保持する形でオンライン頂点重み付きマッチング問題に還元する新しい還元法を導入すること。

提案手法

• リリースされたジョブのオフライン最適マシン数$k$を用いて、$\alpha k$台のマシン上で、利用可能なジョブをEDF（最短デッドライン優先）でスケジューリングするオンラインアルゴリズムを提案。ここで$\alpha$は競争比である。
• 線形計画法フレームワーク内での原問題と双対問題の解の組み合わせ的解釈を用いた要因特定的手法により、実行可能性と競争比の分析を行う。
• オンラインアルゴリズムが使用するマシン数と一致する明示的なオンライン分数スケジュール（双対解）を構築し、競争比の分析を可能にする。
• 均一なデッドラインケースに対してフェーズベースの解析を採用。時間軸を区間（フェーズ）に分割し、作業量の議論により使用マシン数の上限を評価する。
• ジョブをオフライン側の頂点、時間スロットをオンライン側の頂点としてマッピングすることで、オンラインスループット最大化問題をオンライン頂点重み付き二部マッチング問題に還元する。
• 有効なスケジュールとマッチングの間に1対1の対応関係を確立し、任意のマッチングが妥当なスケジュールに対応し、逆にすべての妥当なスケジュールがマッチングに対応することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニット長ジョブにおけるオンラインマシン最小化の最適な決定的競争比は何か？
• RQ2 すべてのジョブが同じデッドラインを持つが処理長が任意である場合に、定数競争比のオンラインマシン最小化アルゴリズムを設計可能か？
• RQ3 固定数の同一マシン上で、オンラインスループット最大化のための最高の達成可能な競争比は何か？
• RQ4 スループット最大化問題を、競争比を保持する既知のオンラインマッチング問題に還元可能か？
• RQ5 ユニット長ジョブスケジューリングにおける競争比$e$はタイトか？また、上界と下界の両方で達成可能か？

主な発見

• 本論文は、ユニット長ジョブに対して、$e$ の競争比を達成する決定的オンラインアルゴリズムを確立し、これは最適であり、長年の未解決問題を解決する。
• ユニット長ジョブ設定下で、任意の決定的アルゴリズムに対して$e$ の下界が証明され、より良い競争比を達成することは不可能であることが示された。
• 任意のジョブ長を許容する均一なデッドラインケースに対して、定数競争比を持つ決定的アルゴリズムが提示され、これは従来未知であった。
• スループット最大化のための確率的オンラインアルゴリズムが開発され、競争比$rac{e}{e-1}$ を達成した。これは従来の最良の境界を再現したが、今や任意の有限台数のマシンに適用可能となった。
• オンラインスループット最大化からオンライン頂点重み付きマッチングへの還元は、競争比を保持しており、既存の確率的原双対技術の適用を可能にする。
• 解析により、各フェーズにおける長時間ジョブと短時間ジョブの作業量が、オフライン解の能力によって上限付けられ、1フェーズあたり使用マシン数が$8 \times \text{Offline} + 1$以下であることが示され、定数競争比の根拠が得られた。