[論文レビュー] Online and Dynamic Algorithms for Geometric Set Cover and Hitting Set

Arindam Khan, Aditya Lonkar+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Optimization and Search Problems被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多項式対数的競合比および更新時間を持つ幾何的セットカバーおよびヘイティングセットの、初めてのオンラインかつ動的アルゴリズムを提示する。四分木に基づく分解と周波数低減技術を導入し、正方形に対してはO(log n)競合比のオンラインアルゴリズム、長方形に対してはO(log N)競合比のオンラインアルゴリズムを達成。また、d次元長方形に対しては(log m)^O(d)-近似と多項式対数的更新時間を達成する動的アルゴリズムを提供。

ABSTRACT

Set cover and hitting set are fundamental problems in combinatorial optimization which are well-studied in the offline, online, and dynamic settings. We study the geometric versions of these problems and present new online and dynamic algorithms for them. In the online version of set cover (resp. hitting set), $m$ sets (resp.~$n$ points) are give $n$ points (resp.~$m$ sets) arrive online, one-by-one. In the dynamic versions, points (resp. sets) can arrive as well as depart. Our goal is to maintain a set cover (resp. hitting set), minimizing the size of the computed solution. For online set cover for (axis-parallel) squares of arbitrary sizes, we present a tight $O(\log n)$-competitive algorithm. In the same setting for hitting set, we provide a tight $O(\log N)$-competitive algorithm, assuming that all points have integral coordinates in $[0,N)^{2}$. No online algorithm had been known for either of these settings, not even for unit squares (apart from the known online algorithms for arbitrary set systems). For both dynamic set cover and hitting set with $d$-dimensional hyperrectangles, we obtain $(\log m)^{O(d)}$-approximation algorithms with $(\log m)^{O(d)}$ worst-case update time. This partially answers an open question posed by Chan et al. [SODA'22]. Previously, no dynamic algorithms with polylogarithmic update time were known even in the setting of squares (for either of these problems). Our main technical contributions are an \emph{extended quad-tree }approach and a \emph{frequency reduction} technique that reduces geometric set cover instances to instances of general set cover with bounded frequency.

研究の動機と目的

• 一般の幾何的対象（例えば長方形）に対して、効率的なオンラインおよび動的アルゴリズムが不足している問題に対処する。
• 軸に平行な正方形に対する、一般のセットカバー手法よりも優れた競合比を達成するオンラインアルゴリズムを設計する。
• d次元長方形に対する、多項式対数的更新時間と近似比を有する動的アルゴリズムを構築し、Chanら（SODA'22）が提起した未解決問題を解決する。
• 2次元正方形におけるオンラインセットカバーおよびヘイティングセットの競合比を、既知の下界と一致させる。
• 重み付き設定に拡張し、重み比に依存しない更新時間および近似保証を可能な限り達成する。

提案手法

• 空間を再帰的にセルに分割する四分木分解を用い、集合および点の効率的幾何的分解を可能にする。
• 幾何的セットカバーのインスタンスを、周波数が有界な一般のセットカバーインスタンスに変換する周波数低減技術を導入する。
• 四分木走査に基づく単調なオフラインアルゴリズムを適用し、未カバー領域をカバーする最も有用な集合（正方形）を選択する。
• オンラインヘイティングセットでは、四分木セル内の候補点を維持し、セルの端縁に最も近い点を選んで到着する正方形をカバーする。
• d次元における動的ヘイティングセットを、2d次元における動的セットカバーに還元する。点をハイパーキューブに、長方形を高次元空間における点に変換する。
• ランク空間還元とBBDツリーを用いて整数座標を処理し、候補点が有界である場合にO(log N)からO(log n)への競合比の向上を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 軸に平行な正方形における幾何的セットカバーのオンラインアルゴリズムとして、一般のセットカバーの境界よりも良いo(log n log m)の競合比を達成できるか？
• RQ2 d次元長方形における動的幾何的セットカバーおよびヘイティングセットに対して、多項式対数的更新時間を達成できるか？
• RQ3 正方形におけるオンラインヘイティングセットの競合比をO(log n)に改善し、O(log N)の境界を上回れるか？
• RQ4 2次元長方形に対して、O(log n)近似と多項式対数的更新時間を達成する動的アルゴリズムが存在するか？
• RQ5 VC次元が定数であるセットシステムに対して、競合比o(log²n)を達成するオンラインアルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• 任意のサイズの軸に平行な正方形における幾何的セットカバーに対して、競合比O(log n)のオンラインアルゴリズムを提示。これは既知の下界Ω(log n)と一致する。
• 正方形における幾何的ヘイティングセットに対して、O(log N)競合比のオンラインアルゴリズムを構築。区間の最良既知の境界と一致し、一致する下界によりタイト性が保証される。
• d次元長方形における動的セットカバーに対して、(log m)^O(d)-近似と同様に、(log m)^O(d)の最悪ケース更新時間を達成。これはChanら（SODA'22）が提起した未解決問題を解決する。
• d次元長方形における動的ヘイティングセットに対して、O(log⁴ᵈ⁻¹ n)近似とO(log²ᵈ⁺² n)更新時間を達成。高次元セットカバーへの還元を用いる。
• 重み付き設定では、長方形に対してO(log⁴ᵈ⁻¹ m · log W)近似とO(log²ᵈ m · log³(Wm))更新時間を達成。
• 整数座標制約の下で、2d次元におけるハイパーキューブに対しても同様の近似および更新時間の境界を達成。