[論文レビュー] Online Covering with Convex Objectives and Applications

Yossi Azar, Ilan Reuven Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Optimization and Search Problems参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、一般の凸・微分可能・非減少目的関数をオンライン被覆制約下で最小化するための新規なオンラインアルゴリズムフレームワークを導入する。これは、線形目的関数に限られていた先行研究を拡張したものであり、非同一マシンスケジューリング問題（スタートアップコストおよびℓpノルムを伴う）にこのフレームワークを適用することで、分数最適化の2段階的手法と、特化したオンライン丸めの組み合わせにより、ほぼ最適な競争比を達成した。特にℓ1ノルム（総負荷）の場合の境界が改善された。

ABSTRACT

Motivated by the importance of energy storage networks in smart grids, we provide an algorithmic study of the online energy storage management problem in a network setting, the first to the best of our knowledge. Given online power supplies, either entirely renewable supplies or those in combination with traditional supplies, we want to route power from the supplies to demands using storage units subject to a decay factor. Our goal is to maximize the total utility of satisfied demands less the total production cost of routed power. We model renewable supplies with the zero production cost function and traditional supplies with convex production cost functions. For two natural storage unit settings, private and public, we design poly-logarithmic competitive algorithms in the network flow model using the dual fitting and online primal dual methods for convex problems. Furthermore, we show strong hardness results for more general settings of the problem. Our techniques may be of independent interest in other routing and storage management problems.

研究の動機と目的

• オンライン被覆制約下で凸・微分可能・非減少目的関数を最小化する一般のオンラインアルゴリズムフレームワークの開発。
• 従来の線形目的関数やオフラインパッキング制約に限られていたオンライン被覆フレームワークを、一般の非線形凸目的関数に対応させる拡張。
• 非同一マシンスケジューリング問題（スタートアップコストおよびℓpノルムを含む）にこのフレームワークを適用し、特に挑戦的なℓ1ノルム（総負荷）の場合を含む。
• ℓ1ノルムの場合に、一般のℓp丸めアプローチを上回るより良い競争比を達成する、競争的なオンライン丸めアルゴリズムの設計。
• 一般のℓpおよび特化したℓ1ケースにおける競争比の漸近的タイトネスの証明。

提案手法

• 分数解法フェーズとオンライン丸めを組み合わせた、決定的オンラインアルゴリズムを提案。凸目的関数をオンライン被覆制約下で最小化する。
• 非線形目的関数を扱うために、オンライン分数最適化とオフライン丸め技術のアイデアを、制約行列に非正の要素を含む場合にも適応。
• 2段階アプローチを導入：まず一般凸フレームワークの知見を活用して競争的な分数量解を計算し、次にマシンコピー技術（ブルー・レッドコピー）を用いたオンライン丸めを実行。
• ℓ1ノルムの場合には、高い分数量被覆を持つマシンの最小プレフィックスに基づいてジョブを割り当てる特化した丸めルールを設計。これにより、高コストのレッドコピーへの割り当て確率を低減。
• 条件付き確率と確率的優位性を用いて、ℓpノルムおよびマシンコストの期待増加量を評価。積分と集中不等式を活用。
• 定理25を適用して、期待ℓpノルムとコストの境界を統合し、Φ（分数量目的値）および対数因子で表される競争比を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形ケースに限らない、凸で非線形な目的関数をオンライン被覆制約下で最小化する一般のオンラインフレームワークを開発することは可能か？
• RQ2 目的関数が非線形で、制約行列に負の要素を含む場合、分数量解から始める2段階的手法（分数量解 → オンライン丸め）はどのように適応可能か？
• RQ3 非同一マシンスケジューリング問題（スタートアップコストおよびℓpノルム）において、特にℓ1ノルムの場合に達成可能な競争比は何か？
• RQ4 一般のℓp丸めフレームワークを超えて、ℓ1ノルムの場合の競争比を改善する方法はあるか？
• RQ5 導出された競争比は、一般のℓpおよび特化したℓ1設定において、漸近的にタイトか？

主な発見

• ℓpノルムスケジューリング問題に対して、O((log m)^{1/p} log n) の競争比を達成した。これは対数要因を除いてタイトである。
• ℓ1ノルムの場合には、特化した丸めアルゴリズムにより、O(log n) の競争比を達成。これは一般のℓp丸めを上回り、漸近的にタイトである。
• アルゴリズムが開くマシンの期待コストは、O(log n)Φで抑えられる。ここでΦは分数量目的値である。
• マシン負荷の期待ℓ1ノルムは2Φ以下であり、丸めが分数量解の品質を期待値で保っていることを示している。
• ジョブがレッドコピー（ジョブ到着後に開かれたマシン）に割り当てられる確率は1/n以下であり、これはコスト制御にとって重要である。
• 先行研究の線形目的関数および混合パッキング・被覆制約を伴うオンライン被覆を一般化し、非線形目的関数に対応する統一的アプローチを提供している。