[論文レビュー] Online dynamic mode decomposition for time-varying systems

Hao Zhang, Clarence W. Rowley+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 19被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、過去のデータを保存せずに、ランク1更新を用いてリアルタイムで正確なDMD行列を計算する、効率的なオンライン動的モード分解（DMD）アルゴリズムを提案する。重み付け要因を組み込むことで、最近のスナップショットを優先し、時間変動するダイナミクスを正確に追跡可能であり、状態次元が200未塔のシステムでは、標準的およびストリーミングDMD手法と比較して、計算効率が桁違いに優れている。

ABSTRACT

Dynamic mode decomposition (DMD) is a popular technique for modal decomposition, flow analysis, and reduced-order modeling. In situations where a system is time varying, one would like to update the system's description online as time evolves. This work provides an efficient method for computing DMD in real time, updating the approximation of a system's dynamics as new data becomes available. The algorithm does not require storage of past data, and computes the exact DMD matrix using rank-1 updates. A weighting factor that places less weight on older data can be incorporated in a straightforward manner, making the method particularly well suited to time-varying systems. A variant of the method may also be applied to online computation of "windowed DMD", in which only the most recent data are used. The efficiency of the method is compared against several existing DMD algorithms: for problems in which the state dimension is less than about~200, the proposed algorithm is the most efficient for real-time computation, and it can be orders of magnitude more efficient than the standard DMD algorithm. The method is demonstrated on several examples, including a time-varying linear system and a more complex example using data from a wind tunnel experiment. In particular, we show that the method is effective at capturing the dynamics of surface pressure measurements in the flow over a flat plate with an unsteady separation bubble.

研究の動機と目的

• 履歴データを保存せずに、時間変動するシステムにおいてリアルタイムで、メモリ効率の良いDMD計算手法を開発すること。
• 各ステップで正確な計算を保証するように、ランク1更新を用いたオンラインでのDMD行列の更新を可能にすること。
• 時間変動するダイナミクスへの適応を向上させるために、最近のスナップショットに高い重みを付ける忘れ要因を組み込むこと。
• 合成的な時間変動系および実世界の流体動力学データ（例：風洞実験測定値）の両方に対して、本手法の有効性を示すこと。
• オンラインシステム同定および制御のための、標準的およびストリーミングDMDの計算効率に優れた代替手法を提供すること。

提案手法

• 新しいスナップショットペア $ (\bm{x}_j, \bm{y}_j) $ の到着に伴い、ランク1更新を用いて正確なDMD行列 $\bm{A}_k = \bm{Y}_k \bm{X}_k^+$ を計算する。
• フル再計算を回避するため、Moore-Penrose疑似逆行列 $ \bm{X}_k^+ $ を再帰的ランク1更新で維持する。
• 古いスナップショットに指数的減少する重みを付けることで、ソフトフォーゲットを実現するため、重み係数 $ \rho \in (0,1] $ を適用する。
• 有限時間窓を用いることで、『ウィンドウ付きDMD』というバリエーションをサポートし、重み付きオンラインDMDのソフトフォーゲットとは対照的に、ハードカットの代替手段を提供する。
• 過剰決定の最小二乗問題が適切に定式化されるよう、$ k > n $ のシステムを想定する。ここで $ n $ は状態次元を表す。
• 1回の更新における計算コストは $ \mathcal{O}(n^2) $ であり、リアルタイム応用において非常に効率的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オンラインDMDアルゴリズムは、過去のデータを保存せずに、リアルタイムで正確なDMD行列を計算できるか？
• RQ2 忘れ要因を組み込むことで、標準的DMDと比較して、時間変動ダイナミクスの追跡性能がどのように向上するか？
• RQ3 状態次元 $ n < 200 $ のシステムにおいて、オンラインDMDの計算効率は、バッチ、ストリーミング、ウィンドウ付きDMD手法と比較してどの程度か？
• RQ4 実験的流体動力学データ（例：表面圧力測定）において、ゆっくり変化する周波数を効果的に捉えることができるか？
• RQ5 時間変動するシステムにおける周波数変動の追跡において、重み付きオンラインDMDとウィンドウ付きDMDの性能はどのように比較できるか？

主な発見

• 提案されたオンラインDMDアルゴリズムは、リアルタイム計算において標準的DMDと比較して、桁違いに計算効率が高く、1回の更新あたりの計算量は $ 4n^2 $ 個の浮動小数点演算である。
• 状態次元 $ n < 200 $ のシステムでは、オンラインDMDは、ストリーミングおよびバッチDMDを含む、すべての比較手法の中で最も効率的である。
• 重み付きオンラインDMD（$ \rho = 0.999 $）は、風洞実験においてゆっくり変化する周波数を効果的に追跡でき、スナップショット1000番目の重みが約0.37に相当する。
• ウィンドウサイズ $ w = 1000 $ のウィンドウ付きDMDはハードカットを提供するが、重み付きオンラインDMDは滑らかな遷移を実現する。両者とも、時間変動ダイナミクスの捉え方において、標準的DMDを上回る性能を示した。
• 不安定な分離バブルを伴う平板上での表面圧力測定のダイナミクスを、本手法は効果的に捉えた。実世界の応用においても、高いロバスト性を示した。
• 本アルゴリズムにより、正確なDMD行列を用いたリアルタイムシステム同定が可能となり、適応制御およびオンライン低次元モデル化に適している。