[論文レビュー] Online Learning of Quantum States

Scott Aaronson, Xinyi Chen+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、実現可能かつ非実現可能な設定の両方において、予測誤差とレグレットが有界であることを保証する量子状態のオンライン学習アルゴリズムを導入する。凸最適化、量子後選別、逐次ファット・シャラッター次元を活用することで、予測誤差がεを超える回数が最大でO(n/ε²)回であることを証明し、レグレットがO(L√(nT) log³/²T)の割合で増加することを示している。これは古典的状態トモグラフィーを著しく上回り、アーロンソンのPAC学習可能性結果をオンラインおよび敵対的設定へと拡張する。

ABSTRACT

Suppose we have many copies of an unknown $n$-qubit state $ρ$. We measure some copies of $ρ$ using a known two-outcome measurement $E_{1}$, then other copies using a measurement $E_{2}$, and so on. At each stage $t$, we generate a current hypothesis $σ_{t}$ about the state $ρ$, using the outcomes of the previous measurements. We show that it is possible to do this in a way that guarantees that $|\operatorname{Tr}(E_{i} σ_{t}) - \operatorname{Tr}(E_{i}ρ) |$, the error in our prediction for the next measurement, is at least $\varepsilon$ at most $\operatorname{O}\!\left(n / \varepsilon^2 ight) $ times. Even in the "non-realizable" setting---where there could be arbitrary noise in the measurement outcomes---we show how to output hypothesis states that do significantly worse than the best possible states at most $\operatorname{O}\!\left(\sqrt {Tn} ight) $ times on the first $T$ measurements. These results generalize a 2007 theorem by Aaronson on the PAC-learnability of quantum states, to the online and regret-minimization settings. We give three different ways to prove our results---using convex optimization, quantum postselection, and sequential fat-shattering dimension---which have different advantages in terms of parameters and portability.

研究の動機と目的

• 量子状態のPAC学習可能性結果（アーロンソン、2007年）をオンライン学習およびレグレット最小化設定へと拡張すること。
• i.i.d. 測定を仮定しないで、敵対的または適応的測定シーケンスにおいても動作する学習アルゴリズムを設計すること。
• 測定が固定分布から生成されない場合の量子状態学習の一般化境界を確立すること。
• レジリエンスとパrameterの柔軟性を実現するため、複数の証明技法（凸最適化、量子後選別、逐次ファット・シャラッター次元）を提供すること。
• ノイズのあるまたは任意の測定シーケンスが存在する中でも、量子状態のオンライン学習において非線形のレグレットを達成すること。

提案手法

• 量子状態の仮説クラスの複雑さを特徴付けるために、逐次ファット・シャラッター次元を用いる。
• Rakhlinら（2015年）の定理9を適用し、量子状態の逐次ファット・シャラッター次元に基づいたレグレット境界を導出する。
• 時間経過に伴うレグレットを最小化するオンライン学習戦略を構築するために、凸最適化を用いる。
• 期待値が異なる状態を区別するのに必要な測定回数の境界を導出するために、量子後選別を活用する。
• 測定シーケンスに関する組合せ的議論を用いて、実現可能な場合の誤り数の上限をO(n/ε²)として導出する。
• 逐次ファット・シャラッター次元と既存のオンライン学習理論を組み合わせることで、一般レグレット境界O(L√(nT) log³/²T)を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子状態学習は、敵対的測定シーケンスを伴うオンライン学習モデルへとPAC設定から拡張可能か？
• RQ2 非実現可能な設定における量子状態のオンライン学習の最適なレグレット境界は何か？
• RQ3 量子状態の逐次ファット・シャラッター次元を用いて、オンライン学習における一般化保証を導出可能か？
• RQ4 非線形レグレットを達成する計算的に効率の良いオンラインアルゴリズムが、量子状態学習に存在するか？
• RQ5 過去のデータとの近似的一貫性が、オンライン量子状態学習における一般化を十分に満たすか？

主な発見

• 量子状態の逐次ファット・シャラッター次元はO(n/ε²)で有界であり、アーロンソンの先行結果を逐次設定へ一般化する。
• 実現可能な場合、予測誤差がεを超える回数は最大でO(n/ε²)回であり、誤り数の上限が確立される。
• 非実現可能な場合、レグレットはO(L√(nT) log³/²T)で上界が与えられ、Lは損失関数のリプシッツ定数である。
• レグレット境界は測定回数に依存せず、キュービット数とイテレーション回数にのみ依存する。
• 測定シーケンスが適応的または敵対的であっても、分布的仮定なしに結果が成り立つ。
• 凸最適化、量子後選別、逐次ファット・シャラッター次元という3つの異なる証明技法が、同じレグレット境界を導出し、レジリエンスと移植可能性を示している。